以及外法线方向上的单位向量为

$$\hat{n} = \frac{d \times b}{|d \times b|}$$

由图 4.40(b)，三角形 ABD 的面积根据叉积的定义可得

$$\text{area} = \frac{1}{2} \text{AD}(\text{AB sin } \theta) = \frac{1}{2} |\mathbf{d} \times \mathbf{b}|$$

因此我们所需的向量为

$$v_1 = \text{area} \times \hat{n} = \frac{1}{2} d \times b$$

类似地，对于三角形 ACB 和 ADC，其向量分别为

$$v_2 = \frac{1}{2}b \times c \quad \text{and} \quad v_3 = \frac{1}{2}c \times d$$

对于第四个面 BCD，相应的向量为

$$v_4 = \frac{1}{2} \overline{BD} \times \overline{BC} = \frac{1}{2}(d - b) \times (c - b) = \frac{1}{2}(d \times c - d \times b - b \times c)$$

将四个向量 v1、v2、v3 和 v4 相加得到零向量。

例 4.28 一个大小为 4 单位的力作用于点 P(2, 3, -5)，方向沿向量 (4, 5, -2)。求它关于点 A(1, 2, -3) 的矩。见图 4.41。

该力关于过 A 且平行于坐标轴的轴的矩是多少？

解 为了将力表示成向量形式，我们首先需要沿力方向的单位向量。

$$\frac{4i + 5j - 2k}{\sqrt{(16 + 25 + 4)}} = \frac{1}{\sqrt{45}} (4, 5, -2)$$

图 4.41 例 4.28 中力 F 关于点 A 的矩。