17 一个平面 $\Pi$ 经过具有位置向量的三个不共线的点 A、B 和 C $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ 以及 $\mathbf{c}$ 。证明该平面的参数向量方程为 $\Pi$ 是

$$r = a + \lambda(b - a) + \mu(c - a)$$

平面 $\Pi$ 经过点 $(-3, 0, 1)$ , $(5, -8, -7)$ 和 $(2, 1, -2)$ ，而平面 $\Theta$ 经过点 $(3, -1, 1)$ , $(1, -2, 1)$ 和 $(2, -1, 2)$ 。求其参数向量方程 $\Pi$ 以及法向量方程 $\Theta$ ，从而证明它们的交线为

$$\mathbf{r} = (1, -4, -3) + t(5, 1, -3)$$

其中 $t$ 是一个标量变量。

18 两条异面直线 $L_1, L_2$ 分别具有方程

$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-2}{1} \quad \text{and}$$

$$\frac{x-1}{2} = \frac{y-5}{1} = \frac{z+3}{2}$$

求一个经过 $L_1$ 且平行于 $L_2$ 的平面方程，并证明两直线之间的最短距离为 6。

19 三个向量 $\mathbf{a} = (1, 0, 0)$ , $\mathbf{b} = (1, 1, 0)$ 和 $\mathbf{c} = (1, 1, 1)$ 已给出。求

(a) $$a \times b, b \times c, c \times a$$

(b) $$a \cdot (b \times c)$$

对于向量 $\mathbf{d} = (2, -1, 2)$ 计算

(c) 表达式中的参数 $$\alpha$$ , $\beta$ , $\gamma$ 在表达式 $$d = \alpha a + \beta b + \gamma c$$

(d) 表达式中的参数 $$p$$ , $q$ , $r$ 在表达式

$$d = pa \times b + qb \times c + rc \times a$$

中，并证明

$$p = \frac{\mathbf{c} \cdot \mathbf{d}}{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})}, \quad q = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{d}}{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})} \quad \text{and}$$

$$r = \frac{b \cdot d}{a \cdot (b \times c)}$$

20 给定参数方程为的直线

$$r = a + \lambda d$$

证明垂直距离 $p$ 从原点到该直线的距离可以取以下两种形式之一

$$(i) \quad p = \frac{|\mathbf{a} \times \mathbf{d}|}{|\mathbf{d}|} \quad (ii) \quad p = \left| \mathbf{a} - \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{d}}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}} \mathbf{d} \right|$$

求过点

A(1, 0, 2) 和 B(2, 3, 0)

的直线的参数方程，并确定

• (a) 从原点到该直线的垂线段的长度；
• (b) 该直线与 y-z 平面的交点；
• (c) 从点 (1, 1, 1) 到该直线的垂足的坐标。

21 给定三个不共面的向量 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ ，并定义 $\mathbf{v} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}$ ，另外三个向量定义为

$$a' = b \times c/v \quad b' = c \times a/v \quad c' = a \times b/v$$

证明

$$a = b' \times c'/v' \quad b = c' \times a'/v' \quad c = a' \times b'/v'$$

其中

$$v' = a' \cdot b' \times c'$$

由此推出

$$a \cdot a' = b \cdot b' = c \cdot c' = 1$$

$$a \cdot b' = a \cdot c' = b \cdot a' = b \cdot c' = c \cdot a'$$

$$= c \cdot b' = 0$$

如果将一个向量用 $a$ , $b$ , $c$ 表示为

$$r = \alpha a + \beta b + \gamma c$$

求 $\alpha, \beta, \gamma$ 用 $a', b'$ 和 $c'$ 表示。

注意： 这两组向量被称为倒易向量组，在晶体学和材料科学中广泛使用。

22 一台不平衡的机器可以近似为两个质量，分别为 2 kg 和 1.5 kg，放置在轻杆 OA 和 OB 的端点 A 和 B 处，杆长分别为 0.7 m 和 1.1 m。点 O 位于转轴上，OAB 构成一个垂直于该轴的平面；OA 和 OB 相互垂直。机器绕该轴以角速度 $\omega$ 旋转，对于质量 $m\omega^2$ 和杆长 $m$ ，产生离心力 $r$ 。求轴处的不平衡力。为了平衡机器，将一个 1 kg 的质量放置在轻杆 OC 的端点，使 C 与 OAB 共面。确定 C 的位置。