• 4 已知 $a = (-1, -3, -1)$ , $b = (q, 1, 1)$ 和 $c = (1, 1, q)$ 求 $q$ 取何值

5 已知向量 $\mathbf{a} = (2, 1, 2)$ 和 $\mathbf{b} = (-3, 0, 4)$ ，求单位向量 $\hat{\mathbf{a}}$ 和 $\hat{\mathbf{b}}$ 。利用这些单位向量求一个平分 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间夹角的向量。

6 一个三角形 ABC 内接于一个圆，圆心为 O，其中 AOC 是圆的直径。取 $\overline{OA} = \mathbf{a}$ 和 $OB = \mathbf{b}$ 。通过计算 $\overline{AB} \cdot \overline{CB}$ 证明角 ABC 是直角。

7 根据平方反比定律，一个质量为 $m_1$ 位于点 $P_1$ 的质点受到来自质量为 $m_2$ 位于点 $P_2$ 的质点的作用力由下式给出

$$\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r} \quad \text{where } \mathbf{r} = \overrightarrow{P_1 P_2}$$

质量为 $3m$ , $3m$ , $m$ 的质点固定在点 $A(1, 0, 1)$ , $B(0, 1, 2)$ 和 $C(2, 1, 2)$ 。证明作用在位于 $A$ 处的粒子上的力，由于 $B$ 和 $C$ 的存在，为

$$\frac{2\gamma m^2}{\sqrt{3}}(-1, 2, 2)$$

8 证明向量 $\mathbf{a}$ 满足向量方程

$$a \times (i + 2j) = -2i + j + k$$

时，必取如下形式 $\mathbf{a} = (\alpha, 2\alpha - 1, 1)$ 。如果此外向量 $\mathbf{a}$ 与向量 $\cos^{-1}(\frac{1}{3})$ 的夹角为 $(i - j + k)$ 证明现在有两个这样的向量同时满足这两个条件。

9 位于位置向量为 $\mathbf{r}$ 的点处的电场，由位于 $e$ 处的电荷 $\mathbf{R}$ 产生，为 $e(\mathbf{r} - \mathbf{R})/|\mathbf{r} - \mathbf{R}|^3$ 。求电场 $\mathbf{E}$ 在点 $P(2, 1, 1)$ 处，已知在每个点 $e$ 和 $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ 处各有一个电荷 $(0, 0, 1)$ 。

10 已知 $\vec{OP} = (3, 1, 2)$ 和 $\vec{OQ} = (1, -2, -4)$ 分别是点 P 和 Q 的位置向量，求

• (a) 经过点 Q 且垂直于 PQ 的平面的方程；
• (b) 从点 $(-1, 1, 1)$ 到该平面的垂直距离。

11 (a) 求经过点 $(1, 2, -2)$ , $(-1, 1, -9)$

和 $(2, -2, -12)$ 的平面的方程。求从原点到该平面的垂直距离。

• (b) 计算顶点位于点 (1, 1, 0)、(1, 0, 1) 和 (0, 1, 1) 的三角形的面积。

12 求点 P，它位于经过点

A(5, 1, 7) 和 B(6, 0, 8)

的直线 L 上；再求点 Q，它位于经过点

C(3, 1, 3) 和 D(−1, 3, 3)

的直线 M 上；以及点 $Q$ 在直线 $M$ 上，该直线经过点 $C(3, 1, 3)$ 和 $D(-1, 3, 3)$ 使得经过 $P$ 和 $Q$ 的直线同时垂直于直线 $L$ 和 $M$ 。验证 $P$ 和 $Q$ 之间的距离为 $\sqrt{6}$ ，并求经过 $P$ 和 $Q$ 与坐标平面相交 $Oxy$ 。

13 质量为 $\mathbf{H}$ 的粒子的角动量矢量 $m$ 定义为

$$H = \mathbf{r} \times (m\mathbf{v})$$

其中 $v = \omega \times r$ 。

利用结果

$$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$$

证明：若 $\mathbf{r}$ 垂直于 $\boldsymbol{\omega}$ 则 $\mathbf{H} = m\mathbf{r}^2\boldsymbol{\omega}$ 。

已知 $m = 100$ , $\mathbf{r} = 0.1(i + j + k)$ 和 $\omega = 5i + 5j - 10k$ 计算

• (a) $(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\omega})$      (b) $\mathbf{H}$

14 一个质量为 $m$ 、电荷为 $e$ 并以速度 $v$ 在强度为 $\mathbf{H}$ 的磁场中运动的粒子，已知其加速度为

$$\frac{e}{mc}(\mathbf{v} \times \mathbf{H})$$

其中 $c$ 为光速。证明平行于 $\mathbf{H}$ 的加速度分量为零。

15 一个力 $\mathbf{F}$ 大小为 14 N，作用于点 A(3, 2, 4)，方向沿向量 $-2\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ 。求该力关于点 B(1, 5, -2) 的矩。同时求 $\mathbf{F}$ 与 $\vec{AB}$ 之间的夹角。

16 点 A、B、C 的坐标分别为 (1, 2, 1)、(-1, 1, 3) 和 (-2, -2, -2)。→ → →

计算向量积 $\vec{AB} \times \vec{AC}$ 、夹角 $BAC$ 以及一个垂直于包含 $A$ , $B$ 和 $C$ 的平面的单位向量。由此求出

• (a) 平面 ABBC 的方程；
• (b) 一个平行于 ABC 且包含点 D(1, 1, 1) 的第二个平面的方程；
• (c) 点 D 与包含 A、B 和 C 的平面之间的最短距离。