5.1 引言

联立方程组的求解是初等代数的一部分。许多工程问题可以用联立方程的形式来表述，但在大多数实际情况下，方程的数量极其庞大，传统的求解方法并不可行。甚至解是否存在这一问题也不容易回答。将方程写成矩阵形式为回答这一问题提供了一种系统的方法，同时也提示了实用的求解方法。在过去大约150年里，人们发展了大量的矩阵技术，其中许多已被应用于工程和科学问题的求解。量子力学的出现以及海森堡发展的矩阵表示极大地推动了矩阵方法的流行，因为科学家和工程师从此能够体会到矩阵表述的便利与经济性。

在许多问题中，矢量（向量）量之间的关系可以用矩阵来表示。我们在前面已经看到，三维空间中的矢量可以相对于某个坐标系用三个数来表示（见第4章）。如果坐标系发生改变，矢量的表示就变为另一个三元组 $(x_1, x_2, x_3)$ 它与原来的三元组通过一个矩阵相联系。在这个三维的例子中，该矩阵是一个 $(x'_1, x'_2, x'_3)$ 的数字阵列。这样的矩阵满足各种加法和乘法性质，我们将在本章中展开这些内容，而且事实上，坐标轴的变换正是引入矩阵乘积最自然的方式。

在上一章中我们注意到，力是矢量的一个极好例子，并且力在工程中有着广泛的应用。当我们处理连续介质时——例如当我们试图确定梁或飞机机翼中的内力，或由流体流动产生的力时——我们必须扩展我们的概念，定义一点的应力。应力可以用一个 $3 \times 3$ 矩阵来表示，因此需要矩阵代数来更好地理解其中涉及的数学运算。

对工程应用影响最大的也许是计算机的出现，因为计算机天生就适合处理矢量和阵列（矩阵），因此问题的矩阵表述已经处于非常适合计算的形式。事实上，矩阵的所有常用功能都已集成到大多数计算机软件包中，或者仅用于计算，或者用于矩阵的代数运算。目前受学生欢迎的软件包包括非常适合数值计算的 MATLAB，以及用于代数运算的 MATLAB 符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）。本章将全程使用这些软件包。

许多物理问题可以用微分方程来建模，这类模型构成了许多现代科学技术的基础。由于这些方程的复杂性，大多数无法解析求解，因此必须求助于数值解。这几乎总是涉及方便的矢量和矩阵表述。例如，一种常用的结构分析方法就是有限元法。在过去大约五十年里，人们开发了有限元软件包来处理具有 $3 \times 3$ 个或更多变量的问题。这类软件包的一个主要部分是将数据整理成矩阵形式，然后求解由此得到的矩阵方程。它们现在被用于设计大型建筑、对飞机进行应力分析、确定通过涡轮机的流动、研究波导，以及许多其他对工程师和科学家具有重大意义的应用场合。 $10^5$