在前文的大多数评论中，矩阵被用来简化需要求解线性方程组的问题中的记号。工程师和科学家通常正是在这种背景下接触矩阵的。因此，本章将主要关注与求解此类线性方程相关的矩阵性质和方法。

5.2 基本概念、定义与性质

我们将通过一些例子来介绍矩阵的基本概念，然后对其进行正式定义和展开。特别地，这些例子将说明矩阵乘法，这是矩阵理论中最有趣的性质，因为它使复杂的方程组能够以方便而紧凑的方式书写。

平面的交点

第一个例子来自几何学。我们之前（见第 4.3.3 节）已经看到，平面的方程可以写成如下形式

$$\alpha x + \beta y + \gamma z = p$$

其中 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ 和 $p$ 是常数。这四个平面

$$\left. \begin{aligned} 4x + 2y + z &= 7 \ 2x + y - z &= 5 \ x + 2y + 2z &= 3 \ 3x - 2y - z &= 0 \end{aligned} \right} \quad (5.1)$$

交于一点。该点的坐标是什么？显然，它们是同时满足 (5.1) 中全部四个方程的 x、y 和 z 的值。

方程组 (5.1) 是一个在广泛的工程问题中出现的数学问题的例子：正如引言中所提到的，即线性方程组的联立求解。线性方程的一般形式是一组变量之和，每个变量仅乘以一个数值因子，并等于一个常数。没有任何变量被提升到任何次幂，也没有任何变量与其他变量相乘。在本例中，我们有关于三个变量 x、y 和 z 的四个线性方程。我们将看到，关于此类方程的求解存在大量的数学理论。

正如数学中的常见做法，解决问题的首要步骤之一是引入更好的记号来表示问题。在本例中，我们引入称为矩阵的数字阵列的概念。我们写作

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \ 2 & 1 & -1 \ 1 & 2 & 2 \ 3 & -2 & -1 \end{bmatrix}$$

并称 A 为一个 $4 \times 3$ （读作“4 乘 3”）矩阵；即一个有四行三列的矩阵。我们还为向量引入另一种记号，写作