5.2.5 练习题

这些练习题大多可以用 MATLAB 进行检验。对于非数值型的练习题，请使用 MATLAB 的符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）。

12 给定矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$

和

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \ 1 & 1 \ -1 & -1 \end{bmatrix}$$

，计算 $\mathbf{AB}$ , $\mathbf{AC}$ , $\mathbf{BC}$ , $\mathbf{CA}$ 和 $\mathbf{BA}^T$ 。其中哪些（如果有的话）是对角矩阵、单位矩阵或对称矩阵？

13 给定矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 3 \ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

和

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

。

(a) 下列哪些运算是有意义的： $\mathbf{AB}$ , $\mathbf{AC}$ , $\mathbf{BC}$ , $\mathbf{AB}^T$ , $\mathbf{AC}^T$ 和 $\mathbf{BC}^T$ ？

(b) 计算那些确实存在的乘积。

(c) 计算 $(\mathbf{A}^T\mathbf{B})\mathbf{C}$ 和 $\mathbf{A}^T(\mathbf{BC})$ 并证明它们相等。

14 (a) 将每个线性变换

$$y_1 = x_1 + 2x_2 \quad \text{and} \quad z_1 = 2y_2 \ y_2 = x_1 - x_2 \quad \text{and} \quad z_2 = y_1 + y_2$$

用矩阵形式表示，并求出用 $z_1$ , $z_2$ 表示 $x_1$ , $x_2$ 的复合变换。

(b) 将每个线性变换

$$y_1 = x_1 + 2x_2 \quad z_1 = y_1 \ y_2 = x_2 + x_3 \quad \text{and} \quad z_2 = y_1 - y_2 \ y_3 = 3x_1 + x_3 \quad z_3 = y_1 + 2y_2 + 3y_3$$

用矩阵形式表示，并求出用 $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ 表示 $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ 的复合变换。

15 已知

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \ 5 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \ -5 & 3 \end{bmatrix}$$

求 $\mathbf{AB}$ 和 $\mathbf{BA}$ 从而证明这两个矩阵可交换。求解方程

$$\mathbf{AX} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$$

对于向量 $\mathbf{X}$ 通过两边同乘 $\mathbf{B}$ 。

16 证明对任意 $x$ 矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \cos(2x) & \sin(2x) \ \sin(2x) & -\cos(2x) \end{bmatrix}$$

满足关系 $\mathbf{A}^2 = \mathbf{I}$ 。

17 若

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \ -b & a \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} c & d \ -d & c \end{bmatrix}$$

证明乘积 $\mathbf{AB}$ 具有完全相同的形式。

18 给定

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 3 & 4 & 5 \ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \ 3 \ 4 \end{bmatrix}$$

求值 $\mathbf{X}^T\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{X}^T\mathbf{AX}$ 并写出由下式给出的方程 $\mathbf{AX} = \mathbf{b}$ .