表达式 $X^T X$ 只是给出了向量长度的平方 $X$ 在通常意义下，即 $X^T X = x^2 + y^2 + z^2$ 。类似地，

$$\mathbf{X}^T \mathbf{X}' = [x \quad y \quad z] \begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \end{bmatrix} = xx' + yy' + zz'$$

这就是通常的标量积或内积，这里以矩阵形式写出。表达式 AX 给出一个以线性表达式为元素的列向量。利用例 5.5(b)，我们可以将线性方程组

$$x + 2y = 3$$

$$x + y = 4$$

$$2x + y + z = 5$$

改写为

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \ 5 \end{bmatrix}$$

它也可以写成线性方程组的标准矩阵形式

AX = b

同样重要的是要认识到，如果 AB = 0，并不能推出 A 或 B 为零。在例 5.4(f) 中我们看到乘积 AC = 0，但 A 和 C 都不是零矩阵。

如果 A 和 B 已经定义且具有正确的维度，那么

A * B 和 A^2

具有通常的矩阵乘法和矩阵平方的含义。

另一方面，A.*B 将 A 和 B 逐元素相乘，而 A.^2 将 A 的每个元素平方。

对于包含代数量的矩阵，或在需要精确运算时，需要使用符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）；此时矩阵 A 和 B 必须用 sym 命令表示为符号形式，即

A = sym(A); B = sym(B)

矩阵乘法是计算机软件包的重要组成部分，并且很容易实现。