(e) 用单位矩阵相乘

若 $\mathbf{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，且 $I_m$ 和 $I_n$ 分别是阶数为 $m$ 和 $n$ 的单位矩阵，则

$$I_m \mathbf{A} = \mathbf{A} I_n = \mathbf{A}$$

因此，用适当的单位矩阵左乘或右乘不会改变 A。

(f) 乘积的转置

$$(\mathbf{A}\mathbf{B})^T = \mathbf{B}^T\mathbf{A}^T$$

其中 $\mathbf{A}$ 是一个 $m \times p$ 矩阵， $\mathbf{B}$ a $p \times n$ 矩阵。该证明可由矩阵转置和矩阵乘法的定义直接得出，但需要仔细处理求和符号。因此，矩阵乘积的转置等于各矩阵转置后按相反顺序相乘的乘积。

例 5.6 给定矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \ 1 & -1 & 0 \ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

• (a) 求 (i) $AB$ ，(ii) $(\mathbf{A}\mathbf{B})^T$ 以及 (iii) $B^T A^T$ ;
• (b) 用 $\mathbf{B}X = \mathbf{c}$ 左乘方程 $\mathbf{A}$ 的两边。

解 (a) 用 MATLAB 验证这些乘积是一个有益的练习。

$$(i) \mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 1$$

MATLAB 命令

A = [1 2 2; 0 1 1; 1 0 1];

B = [1 −2 0; 1 −1 −1; −1 2 1]; A*B

会给出正确的单位矩阵。

$$(ii) (\mathbf{A}\mathbf{B})^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$