$$(iii) \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ -2 & -1 & 2 \ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 2 & 1 & 0 \ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{I}$$

(b) 方程 $\mathbf{B}X = \mathbf{c}$ 可改写为

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \ 1 & -1 & -1 \ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} \text{ or } \begin{matrix} x - 2y & = 1 \ x - y - z & = 0 \ -x + 2y + z & = 1 \end{matrix}$$

如果我们现在用下式左乘该方程 $\mathbf{A}$ 我们得到

$$\mathbf{A}\mathbf{B}X = \mathbf{A}\mathbf{c}$$

并且由于 $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{I}$ , 我们得到

$$\mathbf{I}\mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 1 \ 2 \end{bmatrix} \text{ or } \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}$$

并且我们看到，我们得到了该线性方程组的一个解.

在 MATLAB 中，解为 $\mathbf{X}$ 到线性方程组 $\mathbf{B}\mathbf{X} = \mathbf{c}$ 由该命令确定 B\c. 请验证以下命令

B = [1 -2 0; 1 -1 -1; -1 2 1];
c = [1;0;1];
B\c

请提供需要翻译的 Markdown 原文，我将按照要求将其翻译为简体中文并返回译文。.

Example 5.7

给定三个矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ -2 & 0 & 3 \ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 3 \ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \text{ and } \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ -1 & 2 \ -3 & 1 \end{bmatrix}$$

验证结合律和加法分配律.

Solution

$$\text{Now } \mathbf{B}\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 3 \ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \ -1 & 2 \ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 1 \ -11 & 7 \ -9 & 10 \end{bmatrix} \text{ and}$$

$$\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C}) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ -2 & 0 & 3 \ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 1 \ -11 & 7 \ -9 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \ -21 & 28 \ 7 & -13 \end{bmatrix}$$