(d) 加法法则

按第一行展开，

$$\begin{aligned} & \begin{vmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \ &= (a_{11} + b_{11})A_{11} + (a_{12} + b_{12})A_{12} + (a_{13} + b_{13})A_{13} \ &= (a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}) + (b_{11}A_{11} + b_{12}A_{12} + b_{13}A_{13}) \ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \end{aligned}$$

需要注意的是， $|\mathbf{A} + \mathbf{B}|$ 一般不等于 $|\mathbf{A}| + |\mathbf{B}|$ 。

(e) 行（或列）的倍数相加

考虑

$$|\mathbf{A}| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$

那么

$$\begin{aligned} |\mathbf{B}| &= \begin{vmatrix} a_{11} + \lambda a_{21} & a_{12} + \lambda a_{22} & a_{13} + \lambda a_{23} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \lambda \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \quad (\text{using (d) and then (b)}) \ &= |\mathbf{A}| \quad (\text{since, by (a), the second determinant is zero}) \end{aligned}$$

这意味着将行（或列）的倍数相加不会改变行列式的值。

(f) 转置

$$|\mathbf{A}^T| = |\mathbf{A}|$$