行列式的性质并不总是显而易见的, 并且在完全一般性的情形下往往相当难以证明. 常用的初等行变换如下.

(a) 两行 (或列) equal

$$|\mathbf{A}| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = 0$$

因此，如果两行 (或列) 是相同的, 行列式为零.

(b) 数乘某一行（用标量乘某一行）

$$|\mathbf{B}| = \begin{vmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \lambda a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \lambda |\mathbf{A}|$$

该结果的证明可由定义直接得出。. @@KEEP_00000001_A1B2C3@@ (a) and (b) 即如果任意一行 (或列) 是另一行的倍数 (或列) 则行列式为零.

(c) 两行互换 (或列)

Consider $|\mathbf{A}|$ and $|\mathbf{B}|$ 其中哪些行 1 and 2 互换

$$|\mathbf{A}| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \quad \text{and} \quad |\mathbf{B}| = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$

Expanding $|\mathbf{A}|$ 按第一行,

$$|\mathbf{A}| = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$$

and $|\mathbf{B}|$ 由第二行

$$|\mathbf{B}| = -a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$$

Thus

$$|\mathbf{A}| = -|\mathbf{B}|$$