这种技术在数学上是一种重要的方法（参见配套教材 Advanced Modern Engineering Mathematics），因为它提供了一种解耦方程组的方法。在实际应用中，它是将物理系统简化到主轴的过程；在弹性力学中，它可以求出物体中的主应力。

在 MATLAB 中检验以下命令

T = [0.6 0.3 0.1; 1 1 0.5; 1.2 1.5 1];
inv(T)

返回逆矩阵 $T^{-1}$ 以数值形式

$$\begin{bmatrix} 4.1667 & -2.5000 & 0.8333 \ -6.6667 & 8.0000 & -3.3333 \ 5.0000 & -9.0000 & 5.000000 \end{bmatrix}$$

同时检验，使用符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox），通过以下命令可以得到解答中给出的精确形式

T = [0.6 0.3 0.1; 1 1 0.5; 1.2 1.5 1];
T = sym(T);
inv(T)

5.4.1 习题

使用 MATLAB 检验你的习题答案。

51 判断下列矩阵是奇异的还是非奇异的，并求出非奇异矩阵的逆矩阵。

(a) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 1 \ 5 & 6 & 5 \end{bmatrix}$

(c) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ (d) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

52 求下列矩阵的逆矩阵

(a) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

(c) $\begin{bmatrix} 1 & j \ -j & 2 \end{bmatrix}$ (d) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

验证

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -3 \ 2 & 1 & 0 \ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$$

存在逆矩阵

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \ -2 & 3 & -6 \ -5 & 1 & -2 \end{bmatrix}$$

从而解出方程

$$\mathbf{ACA} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \ 0 & 2 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$