54 (a) 若一个方阵 $\mathbf{A}$ 满足 $\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}$ 且可逆，证明 $\mathbf{A}$ 是单位矩阵。

(b) 证明 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 满足 $\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}$ 。

注： 满足 $\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}$ 的矩阵称为幂等矩阵。

55 若

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$

且 $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \ 1 & 6 & 0 \ 0 & 4 &a & 4 \end{bmatrix}$

证明 $\mathbf{AB} = \mathbf{C}$ 。求 的逆矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 从而也是……的 $\mathbf{C}$ 。

注： 这是一个称为 LU 分解的强大方法的示例。

56 给定矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 2 \ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$

和初等矩阵

$$\mathbf{E}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{E}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{E}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -2 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{E}_4 = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

计算 $\mathbf{E}_1\mathbf{A}$ , $\mathbf{E}_2\mathbf{E}_1\mathbf{A}$ , $\mathbf{E}_3\mathbf{E}_2\mathbf{E}_1\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{E}_4\mathbf{E}_3\mathbf{E}_2\mathbf{E}_1\mathbf{A}$ 从而求出……的逆矩阵 $\mathbf{A}$ 。

注： 初等矩阵对矩阵的行进行操作 $\mathbf{A}$ 。

57 对于矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \ 2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

证明 $\mathbf{A}^2 - 4\mathbf{A} - 5\mathbf{I} = 0$ 因此可得 $\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{5}(\mathbf{A} - 4\mathbf{I})$ 。计算 $\mathbf{A}^{-1}$ 由这个结果。进一步证明 $\mathbf{A}^2$ 的逆矩阵为 $\frac{1}{25}(21\mathbf{I} - 4\mathbf{A})$ 并求值。

58 已知

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ 6 & 4 & 0 \ 6 & -2 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 4 \ 3 & -1 & 2 \ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}$$

求 $\mathbf{A}^{-1}$ 和 $\mathbf{B}^{-1}$ 。验证 $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ 。

59 已知矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

证明 $\mathbf{A}^2 = \mathbf{I}$ 和 $\mathbf{B}^3 = \mathbf{I}$ ，从而求出 $\mathbf{A}^{-1}$ , $\mathbf{B}^{-1}$ 和 $(\mathbf{AB})^{-1}$ 。

注： 本题中的矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是置换矩阵的例子。例如， $\mathbf{A}$ 给出

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_3 \ x_2 \ x_4 \end{bmatrix}$$

，只是下标被重新排列； $\mathbf{B}$ 具有类似的性质。