将第一行乘以 2（类型 (a) 的行操作）得到

$$\begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \ 2 & 1 & 1 \ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \ 7 \ 12 \end{bmatrix}$$

交换第 1 行和第 3 行（类型 (b) 的行操作）得到

$$\begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \ 2 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \ 7 \ 3 \end{bmatrix}$$

从第 2 行中减去第 1 行（类型 (c) 的行操作）得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \ 12 \end{bmatrix}$$

在每种情况下我们看到，修改后的方程组的解仍然是 $x_1 = 1$ , $x_2 = 2$ , $x_3 = 3$ 。

消元过程以某种系统化的方式反复应用 (a)、(b) 和 (c)，直到方程组被处理成所需的形式，例如上三角方程组

$$(5.24) \quad \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \ 0 & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \ 0 & 0 & a_{33} & \dots & a_{3n} \ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ \vdots \ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \ \vdots \ b_n \end{bmatrix}$$

上三角形式方程组的解可以写为

$$\begin{aligned} x_n &= b_n/a_{nn} \ x_{n-1} &= (b_{n-1} - a_{n-1,n}x_n)/a_{n-1,n-1} \ x_{n-2} &= (b_{n-2} - a_{n-2,n}x_n - a_{n-2,n-1}x_{n-1})/a_{n-2,n-2} \ &\vdots \ x_1 &= (b_1 - a_{1n}x_n - a_{1,n-1}x_{n-1} - \dots - a_{12}x_2)/a_{11} \end{aligned}$$

实现这些方程的 MATLAB 函数过程如图 5.8 所示。初等行操作和消元技术在例 5.31 中进行了说明。