一个振动系统可能导致七八个变量，而一个板弯曲问题很容易产生数百个变量。

作为基本方法的进一步例子，我们求解

$$x_1 + x_2 = 3 \quad (5.21)$$

$$2x_1 + x_2 + x_3 = 7 \quad (5.22)$$

$$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \quad (5.23)$$

首先，我们消去 $x_1$ :

$$(5.21) \text{ gives } x_1 = 3 - x_2 \quad (5.21')$$

$$(5.22) \text{ gives } 2(3 - x_2) + x_2 + x_3 = 7, \text{ or } -x_2 + x_3 = 1 \quad (5.22')$$

$$(5.23) \text{ gives } (3 - x_2) + 2x_2 + 3x_3 = 14, \text{ or } x_2 + 3x_3 = 11 \quad (5.23')$$

其次我们消去 $x_2$ :

$$(5.22') \text{ gives } x_2 = x_3 - 1 \quad (5.22'')$$

$$(5.23') \text{ gives } (x_3 - 1) + 3x_3 = 11, \text{ or } 4x_3 = 12 \quad (5.23'')$$

方程 (5.23'') 给出 $x_3 = 3$ ；我们将其代入 (5.22'') 得到 $x_2 = 2$ ；然后我们将其代入 (5.21') 得到 $x_1 = 1$ 。因此，这些值 $x_1 = 1$ , $x_2 = 2$ 和 $x_3 = 3$ 给出了原问题的一个解。

方程 (5.21)–(5.23) 写成矩阵形式为

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 7 \ 14 \end{bmatrix}$$

消元过程已将方程组化为 (5.21)、(5.22') 和 (5.23'')，写成矩阵形式为

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 1 \ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 1 \ 12 \end{bmatrix}$$

本质上，消元法已将方程组化为上三角形式（即系数矩阵在对角线下方所有位置均为零的形式），这种形式非常容易求解。

消元过程依赖于对方程组或等价地对矩阵方程的各行进行操作。有多种初等行变换可以使用，它们不会改变方程组的解：

• (a) 用一个常数乘以某一行；
• (b) 交换任意两行；
• (c) 将一行加到另一行或从另一行中减去。

为了说明这些操作，我们取矩阵方程

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 2 & 1 & 1 \ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 7 \ 12 \end{bmatrix}$$