第一步之后我们得到

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$$

下一步除以对角元素 $a_{22}$ 。由于该元素为零，方法陷入停滞。然而其实存在一个完全好的解，因为只需交换最后两行，

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$$

就得到一个上三角矩阵，其解显而易见为 $z = 1, y = 2, x = 3$ 。显然必须在算法中加入检查以防止此类失败。

高斯消元法

由于大多数矩阵方程不是三对角的，我们希望将这一思想推广到一般矩阵

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_n \end{bmatrix} \quad (5.26)$$

这样做的结果就是著名的高斯消元法，以卡尔·弗里德里希·高斯（1777–1855）命名，他是有史以来最有天赋的数学家之一。它比托马斯算法稍复杂一些。首先我们消去 $x_1$ :

$$\begin{bmatrix} 1 & a'{12} & a'{13} & \dots & a'{1n} \ 0 & a'{22} & a'{23} & \dots & a'{2n} \ 0 & a'{32} & a'{33} & \dots & a'{3n} \ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ 0 & a'{n2} & a'{n3} & \dots & a'{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b'_1 \ b'_2 \ \vdots \ b'_n \end{bmatrix}$$

其中

$$\begin{aligned} a'{12} &= \frac{a{12}}{a_{11}}, \quad a'{13} = \frac{a{13}}{a_{11}}, \quad \dots, \quad a'{1n} = \frac{a{1n}}{a_{11}}, \quad b'1 = \frac{b_1}{a{11}} \ a'{22} &= a{22} - a_{21}a'{12}, \quad a'{23} = a_{23} - a_{21}a'{13}, \quad \dots, \quad b'2 = b_2 - a{21}b'1 \ a'{32} &= a{32} - a_{31}a'{12}, \quad a'{33} = a_{33} - a_{31}a'_{13}, \quad \dots, \quad b'3 = b_3 - a{31}b'_1 \end{aligned}$$