通常这些可以写成

$$\begin{aligned} a'{ij} &= \frac{a{ij}}{a_{11}}, \quad j = 1, \dots, n \quad b'1 = \frac{b_1}{a{11}} \ a'{ij} &= a{ij} - a_{11}a'_{ij} \ b'i &= b_i - a{11}b'_1 \end{aligned}$$

现在我们对 $(n - 1) \times (n - 1)$ 子矩阵以完全相同的方式进行操作，该子矩阵是通过忽略第 1 行和第 1 列形成的，然后重复此过程，直到方程组变为上三角形式。在算法的一般步骤中，方程组将呈现如下形式

$$\begin{bmatrix} 1 & * & * & * & & & & & \dots & * & * \ 0 & 1 & * & * & & & & \dots & * & * \ 0 & 0 & 1 & * & & & \dots & * & & \ 0 & 0 & & \ddots & & & & & \vdots & & \ \vdots & \vdots & \ddots & & & & & & & \vdots & \ 0 & \dots & & 0 & 1 & * & \dots & * & & & \ 0 & \dots & & & 0 & a_{ii} & \dots & a_{in} & & & \ \vdots & & & & & 0 & \vdots & \ddots & & \vdots & \ 0 & \dots & & & & & \vdots & & & & \ 0 & \dots & & & & 0 & a_{mi} & \dots & a_{mn} & * & * \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \ * \end{bmatrix}$$ (5.27)

同样，覆盖写入避免了引入带撇号符号的需要；该算法如图 5.10 所示。

该过程是针对一般的 $m \times n$ 矩阵编写的。为了求解矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{b}$ ，其中 $\mathbf{A}$ 是一个非奇异的方阵 $n \times n$ 矩阵，将 $\mathbf{b}$ 附加到 $\mathbf{A}$ ，然后使用函数文件 elim 和 uppertrisolve

B = [A, b]
C = elim (n, n+1, B)
z = uppertrisolve (C(:, [1:n]), C(:, n+1), n)

图 5.10
(5.26) 的
消元过程。

function A= elim(m, n, a)
% elim implements Gaussian elimination for a mxn matrix a
% If a(k, k)=0 at any time the method will fail
% remove semicolons at the ends of lines 8, 9 and 12 to print
all stepsfor k=1:m-1
    if k<n
        a(k, :)=a(k, :)/a(k, k);
        a(k+1:m, k:n)=a(k+1:m, k:n)-a(k+1:m, k)*a(k, k:n);
    end
endA=a;
end