该算法与托马斯算法具有相同的优点，被工程师广泛用于求解线性方程组。

例 5.33

利用消元法和回代法，求解方程组

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \ 1 & 2 & 3 \ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}$$

解 根据图 5.10 中的方法，步骤如下

$$\text{Divide first row by 2: } \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 2 \ 1 & 2 & 3 \ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \ 1 \ 2 \end{bmatrix}$$

$$\text{Subtract row 1 from row 2 and row 3: } \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 2 \ 0 & \frac{1}{2} & 1 \ 0 & \frac{5}{2} & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \ \frac{1}{2} \ \frac{3}{2} \end{bmatrix}$$

$$\text{Divide second row by } \frac{1}{2}: \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 2 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & \frac{5}{2} & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \ 1 \ \frac{3}{2} \end{bmatrix}$$

$$\text{Subtract } \frac{5}{2} \times \text{(row 2) from row 3: } \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 2 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \ 1 \ -1 \end{bmatrix}$$

$$\text{Divide row 3 by (-2): } \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 2 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \ 1 \ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

至此消元过程完成，回代法（见图 5.8）应用于上三角矩阵。

$$\text{From the third row } z = \frac{1}{2}$$

$$\text{From the second row } y = 1 - 2z = 0$$

$$\text{From the first row } x = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}y - 2z = -\frac{1}{2}$$

$$\text{so the solution is } x = -\frac{1}{2}, y = 0, z = \frac{1}{2}.$$