在算法的实际计算机实现中，行的元素不会被显式地交换。取而代之的是，会使用一种指针系统来实现一种称为间接寻址的技术，这种技术可以大大加快计算速度。有兴趣的读者可参阅有关计算机编程技术的教材，以获得对该方法的完整解释。

在这种消元过程的手工计算版本中，有一些方法可以保持运行中的检验并减少书写量。本书的重点是计算机实现，手工计算仅用于说明该方法的原理。编写自己的程序是一种有效的学习技巧，但执业的专业工程师通常会使用计算机软件库中提供的现成程序。

在 MATLAB 中，指令 [L, U] = lu(A) 在 $U$ 中给出消元后的矩阵。MATLAB 所使用的方法总是采用部分主元法。指令 A\b 将一步给出方阵的解。

例 5.35

求解矩阵方程

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 2 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 3 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 3 \ 2 \ 1 \end{bmatrix}$$

使用带部分主元的高斯消元法。

解

步骤如下。我们首先交换第 1 行和第 2 行并进行消元：

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 \ 1 & 3 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \ 2 \ 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \ 0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \ \frac{5}{2} \ \frac{1}{2} \ 1 \end{bmatrix}$$

然后我们交换第 2 行和第 3 行并进行消元：

$$\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ 0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \ \frac{1}{2} \ \frac{5}{2} \ 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \ 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \ 0 & 0 & \frac{11}{5} & \frac{4}{5} \ 0 & 0 & \frac{4}{5} & \frac{11}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \ \frac{1}{5} \ \frac{11}{5} \ \frac{4}{5} \end{bmatrix}$$