在此阶段无需交换行，消元可直接进行：

$$\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \ 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{11} \ 0 & 0 & 0 & \frac{21}{11} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \ \frac{1}{5} \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$$

回代现在给出 $t = 0$ , $z = 1$ , $y = 0$ 以及 $x = 1$ .

病态性

消元法并非没有困难，下面的例子将突出其中的一些问题。

例 5.36

用消元法求解方程组

$$(a) \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0.5001 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.3 \ 0.6 \end{bmatrix} \quad (b) \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0.4999 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.3 \ 0.6 \end{bmatrix}$$

解 保持计算过程平行，

$$(a) \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \ 1 & 0.5001 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.15 \ 0.6 \end{bmatrix} \quad (b) \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \ 1 & 0.4999 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.15 \ 0.6 \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0.5 \ 0 & 0.0001 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.15 \ 0.45 \end{bmatrix}$$

其解为

$$y = 4500, \quad x = -2249.85$$

其解为

$$y = -4500, \quad x = 2250.15$$

在例 5.36 中，系数仅有微小差异的简单方程组却有着截然不同的解。这种情况很可能引起问题，因此必须仔细分析。在这里不适合进行完整的详细分析，但这个问题显然与对几乎相等的数作差有关： $0.5001 - 0.5 = 0.0001$ 。

表现出这种棘手行为的方程组称为病态的。在涉及多个变量的矩阵中识别病态性并不容易，但一个例子将说明两变量情形下的困难。假设我们求解

$$2x + y = 0.3$$

$$x - \alpha y = 0$$