75 用带部分主元的高斯消元法求解下列方程组：

$$(a) \begin{bmatrix} 1.17 & 2.64 & 7.41 \ 3.37 & 1.22 & 9.64 \ 4.10 & 2.89 & 3.37 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.27 \ 3.91 \ 4.63 \end{bmatrix}$$

$$(b) \begin{bmatrix} 3.21 & 4.18 & -2.31 \ -4.17 & 3.63 & 4.20 \ 1.88 & -8.14 & 0.01 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.27 \ -1.21 \ 4.88 \end{bmatrix}$$

$$(c) \begin{bmatrix} 1 & 7 & 2 & -1 \ 11 & 4 & -3 & 9 \ 7 & 6 & 4 & -2 \ 5 & 8 & -5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \ -12 \ 7 \ -7 \end{bmatrix}$$

76 给定两个几乎完全相同的矩阵方程

$$\begin{bmatrix} 0.11 & 0.19 & 0.10 \ 0.49 & -0.31 & 0.21 \ 1.55 & -0.70 & 0.70 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} \quad \text{and}$$

$$\begin{bmatrix} 0.11 & 0.19 & 0.10 \ 0.49 & -0.31 & 0.21 \ 1.55 & -0.70 & 0.71 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$$

使用 MATLAB 或 MAPLE 证明这两个解相差悬殊。计算这两个 $3 \times 3$ 矩阵的行列式。

77 证明三对角矩阵可以写成如下形式

$$\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & & & 0 \ c_2 & a_2 & b_2 & & \ & c_3 & a_3 & b_3 & \ & & \ddots & \ddots & \ddots \ 0 & c_{n-1} & a_{n-1} & b_{n-1} & \ & & & c_n & a_n \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} l_{11} & & 0 \ l_{21} & l_{22} & \ & l_{32} & l_{33} \ & & \ddots \ 0 & & l_{n,n-1} & l_{nn} \end{bmatrix}$$

$$\times \begin{bmatrix} 1 & u_{12} & & & 0 \ 1 & u_{23} & & & \ & 1 & u_{34} & & \ & & \ddots & \ddots & \ & & & 1 & u_{n-1,n} \ 0 & & & & 1 \end{bmatrix}$$

在对角线以下每个位置都为零的矩阵称为上三角矩阵，而对角线以上处处为零的矩阵称为下三角矩阵。只在某些对角线上有非零元素的矩阵称为带状矩阵。在本例中，我们已经证明三对角矩阵可以写成一个下三角带状矩阵与一个上三角带状矩阵的乘积。

78 一根导线在九个等间距点上加载相等的重物 $W$ 如图 5.13 所示。导线张紧得足够紧，以至于张力 $T$ 可以视为常数。两个端点位于同一高度，因此 $u_0 = u_{10} = 0$ 且系统关于其中点对称。确定位移的方程 $u_i$ 为

$$W = (T/d)(2u_1 - u_2) \quad )$$

$$W = (T/d)(-u_1 + 2u_2 - u_3) \quad )$$

$$W = (T/d)(-u_2 + 2u_3 - u_4) \quad )$$

$$W = (T/d)(-u_3 + 2u_4 - u_5) \quad )$$

$$W = (T/d)(-u_4 + 2u_5) \quad )$$

取 $W/d/T = l$ , 计算 $u_i/l$ 对于 $i = 1, \dots, 5$ .

图 5.13 承载导线。