几乎平行。对于更高维的问题，识别这种行为绝非易事。这类方程组确实会出现在工程场景中，因此应当认识到这里所概述的困难。在我们研究过的每一个病态案例中，方程组的行列式都很“小”：

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0.5001 \end{vmatrix} = 0.0002$$

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0.4999 \end{vmatrix} = -0.0002$$

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0.4 \pm 0.05 \end{vmatrix} = -0.2 \pm 0.1$$

因此这些方程是“近乎奇异的”——这是识别该问题的一种方法。然而，读者应参考一本更高级的数值分析书籍，以了解在一般情况下如何识别和处理病态问题。

5.5.3 习题

其中大部分习题需要使用 MATLAB 求解。为了体会消元法，前几道习题应尝试手工计算。

72 使用消元法（带或不带部分主元法）求解方程组

(a) $$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 4 \ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{bmatrix}$$

(b) $$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \ 3 & -1 & 1 \ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \ -7 \ -13 \end{bmatrix}$$

(c) $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \ -6 & 2 & 10 \ 2 & 8 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$$

73 求解方程组

$$\begin{aligned} 4x - y &= 2 \ -x + 4y - z &= 5 \ -y + 4z - t &= 3 \ -z + 4t &= 10 \end{aligned}$$

使用三对角算法。

74 求解方程组

$$\begin{aligned} 4x - y &= -t = -4 \ -x + 4y - z &= 1 \ -y + 4z - t &= 4 \ -x &= -z + 4t = 10 \end{aligned}$$

使用高斯消元法。