它们在相差一个比例因子的意义下是唯一确定的 $\pm 1$ 。特征向量的规范化形式 $\mathbf{e} = [e_1 \quad e_2 \quad \dots \quad e_n]^T$ 记作 $\hat{\mathbf{e}}$ 并由下式给出

$$\hat{\mathbf{e}} = \frac{\mathbf{e}}{|\mathbf{e}|}$$

其中

$$|\mathbf{e}| = \sqrt{(e_1^2 + e_2^2 + \dots + e_n^2)}$$

例如，对于例 5.44 中的矩阵 $\mathbf{A}$ ，其特征向量的规范化形式为

$$\hat{\mathbf{e}}_1 = [1/\sqrt{11} \quad 3/\sqrt{11} \quad 1/\sqrt{11}]^T, \quad \hat{\mathbf{e}}_2 = [3/\sqrt{14} \quad 2/\sqrt{14} \quad 1/\sqrt{14}]^T$$

和

$$\hat{\mathbf{e}}_3 = [1/\sqrt{2} \quad 0 \quad 1/\sqrt{2}]^T$$

然而，在本书中，除非另有说明，特征向量总是以其“最简”形式给出，因此对于例 5.44 中的矩阵，我们取 $\beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 1$ 并写成

$$\mathbf{e}_1 = [1 \quad 3 \quad 1]^T, \quad \mathbf{e}_2 = [3 \quad 2 \quad 1]^T \quad \text{and} \quad \mathbf{e}_3 = [1 \quad 0 \quad 1]^T$$

可以注意到，例 5.44 中的三个特征值是线性无关的，因为将这些特征值写成矩阵形式可得

$$\det \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \ 3 & 2 & 0 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = -6 \neq 0$$

由图 5.19 可知，这足以确立线性无关性。有一个一般性的结论，可以用反证法证明：

若一个 $n \times n$ 矩阵有 $n$ 个互不相同的特征值，则相应的特征向量线性无关。

该结论具有重要的理论和实际意义，但这一思想的主要展开留待配套教材《Advanced Modern Engineering Mathematics》（《现代高等工程数学》）中讨论。下面用一个例子来说明该思想的一个方面，它在类似于 5.5.4 节的迭代方法理论中被广泛使用。

例 5.45

将斐波那契数列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$ （其中下一项是前两项之和）写成矩阵形式，并求其通项。

解 设 $F_k$ 为第 $k$ 个斐波那契数；则可以验证

$$\begin{bmatrix} F_{k+1} \ F_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_k \ F_{k-1} \end{bmatrix} \text{ with } F_1 = F_2 = 1$$