$$0e_{21} + e_{22} - 2e_{23} = 0$$

$$-e_{21} + e_{22} + e_{23} = 0$$

$$0e_{21} + e_{22} - 2e_{23} = 0$$

得到解

$$\frac{e_{21}}{-3} = \frac{-e_{22}}{2} = \frac{e_{23}}{-1} = \beta_2$$

其中 $\beta_2$ 是任意标量。因此对应于特征值 $\mathbf{e}_2$ 的特征向量 $\lambda_2 = 1$ 为

$$\mathbf{e}_2 = \beta_2[3 \quad 2 \quad 1]^T$$

同样可以通过计算 Ae 来进行验证₂。

最后，当 $i = 3$ , $\lambda_3 = -1$ 并且我们从 (5.36) 得到

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \ -1 & 3 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{31} \ e_{32} \ e_{33} \end{bmatrix} = 0$$

即

$$2e_{31} + e_{32} - 2e_{33} = 0$$

$$-e_{31} + 3e_{32} + e_{33} = 0$$

$$0e_{31} + e_{32} + 0e_{33} = 0$$

因此

$$\frac{e_{31}}{-1} = \frac{e_{32}}{0} = \frac{e_{33}}{-1} = \beta_3$$

这里同样 $\beta_3$ 是一个任意标量，而对应于特征值 $e_3$ 的特征向量 $\lambda_3$ 为

$$\mathbf{e}_3 = \boldsymbol{\beta}_3[1 \quad 0 \quad 1]^T$$

可以像之前那样验证计算。于是我们求得矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值为 2、1 和 $-1$ ，对应的特征向量

$$\beta_1[1] \quad 3 \quad 1]^T, \quad \beta_2[3] \quad 2 \quad 1]^T \quad \text{and} \quad \beta_3[1] \quad 0 \quad 1]^T$$

分别为。

由于在例 5.44 中 $\beta_i$ , $i = 1, 2, 3$ 是任意的，因此对应于每个特征值都存在无穷多个特征向量，它们彼此互为倍数。有时按照某种约定对特征向量进行缩放会很方便。一个常用的约定是对特征向量进行归一化，使得