因此特征值为以下多项式的根

$$\lambda^2 - 2\lambda \cos \theta + 1 = 0$$

即

$$\lambda = \cos \theta \pm j \sin \theta$$

如例 5.43 中那样求解特征向量，我们得到

$$\mathbf{e}_1 = [1 \quad -j]^T \quad \text{and} \quad \mathbf{e}_2 = [1 \quad j]^T$$

在例 5.43 和例 5.46 中我们看到，特征值可以是复数，并且特征向量可能具有复数分量。这种情况出现在特征方程具有复（共轭）根时。

对于 $n \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ MATLAB 命令 p=poly(A) 生成一个 $n + 1$ 元素行向量，其元素为 $\mathbf{A}$ 的特征多项式的系数，系数按幂次降序排列。而 $\mathbf{A}$ 是该多项式的根，并使用命令生成 roots(p)。命令

[M,S]=eig(A)

将 A 的归一化特征向量生成为矩阵 M 的列，并将其对应的特征值生成为对角矩阵 S 的对角元素（M 和 S 分别称为 A 的模态矩阵和谱矩阵）。在没有左侧输出参数的情况下，命令 eig(A) 本身只是生成 A 的特征值。

对于例 5.44 中的矩阵 A，命令

A=[1 1 –2; –1 2 1; 0 1 –1]; [M,S]=eig(A)

生成输出

0.3015 –0.8018 0.7071 2.0000 0 0 M=0.9045 –0.5345 0.0000 S=0 1.0000 0 0.3015 –0.2673 0.7071 0 0 –1.0000

这些结果与我们计算出的答案一致，即 $\beta_1 = 0.3015$ , $\beta_2 = -0.2673$ 和 $\beta_3 = 0.7071$ 。

在 MATLAB 中使用符号数学工具箱，可以使用命令 A=sym(A) 将矩阵 A 从数值形式转换为符号形式。然后使用以下命令序列生成其符号特征值和特征向量

A=[1 1 –2; –1 2 1; 0 1 –1]; A=sym(A); [M, S]=eig(A)

结果为

M=[3, 1, 1] S=[-1, 0, 0] [2, 3, 0] [0, 2, 0] [1, 1, 1] [0, 0, 1]