5.7.3 练习题

使用 MATLAB 检验你的答案。

94 求下列矩阵的特征多项式

(a) $\begin{bmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$

(b) $\begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$

(c) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

(d) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 2 & 2 \ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

(e) $\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \ 4 & 5 & -1 \ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$

(f) $\begin{bmatrix} 2 & 1 \ -1 & a \end{bmatrix}$

95 求下列矩阵的特征值及对应的特征向量

(a) $\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$

(c) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -4 \ 0 & 5 & 4 \ -4 & 4 & 3 \end{bmatrix}$

(e) $\begin{bmatrix} 5 & 0 & 6 \ 0 & 11 & 6 \ 6 & 6 & -2 \end{bmatrix}$

(g) $\begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \ 2 & 5 & 4 \ -1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

(b) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 2 \end{bmatrix}$

(d) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 0 & 2 & 2 \ -1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

(f) $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

(h) $\begin{bmatrix} 1 & -4 & -2 \ 0 & 3 & 1 \ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

并由此求出这些矩阵的特征值。

5.7.4 重特征值

在目前为止所考虑的例子中，矩阵的特征值 $\lambda_i$ ( $i = 1, 2, \dots$ ) 都是互不相同的，在这种情况下，对应的特征向量是线性无关的。此时称矩阵 $\mathbf{A}$ 具有一组完备的线性无关特征向量。显然，特征方程的根 $\mathbf{A}$ 可能不全互不相同，而当 $c(\lambda)$ 时，矩阵具有……（原文截断） $c(\lambda)$ has $p \leq n$ 不同的根， $c(\lambda)$ 可以分解为

$$c(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{m_1}(\lambda - \lambda_2)^{m_2} \dots (\lambda - \lambda_p)^{m_p}$$

表明根 $\lambda = \lambda_i$ , $i = 1, 2, \dots, p$ ，是一个重数为 $m_i$ 的根，其中整数 $m_i$ 称为特征值 $\lambda_i$ 的代数重数。显然 $m_1 + m_2 + \dots + m_p = n$ 。当一个矩阵 $\mathbf{A}$ 有重复的特征值时，问题就出现了：是否有可能为 $\mathbf{A}$ 获得一组完整的独立特征向量。我们首先考虑一些例子来说明这种情况。

例 5.47

求下列矩阵的特征值及对应的特征向量

(a) $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$      (b) $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$