性质 7

若 $k$ 是正整数，则 $\mathbf{A}^k$ 的特征值为

$$\lambda_1^k, \quad \lambda_2^k, \quad \dots, \quad \lambda_n^k$$

性质 8

作为性质 5 和性质 7 的推论，A 的任意多项式

$$\mathbf{A}^m + \alpha_{m-1}\mathbf{A}^{m-1} + \dots + \alpha_1\mathbf{A} + \alpha_0\mathbf{I}$$

具有特征值

$$\lambda_i^m + \alpha_{m-1}\lambda_i^{m-1} + \dots + \alpha_1\lambda_i + \alpha_0 \quad \text{for} \quad i = 1, 2, \dots, n$$

5.7.7 对称矩阵

若方阵 $\mathbf{A}$ 满足 $\mathbf{A}^T = \mathbf{A}$ ，则称其为对称矩阵。这类矩阵构成一个重要的类别，并出现在各种实际情形中。这种对称性为特征值和特征向量赋予了一种强有力的结构，可概括为以下命题：

• (i) 实对称矩阵的特征值均为实数。
• (ii) 对于一个 $n \times n$ 实对称矩阵总是可以找到 $n$ 个相互正交的线性无关特征向量 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n$ 使得 $\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}_j = 0$ 对于 $i \neq j$ 。

如果将对称矩阵的正交特征向量归一化为

$$\hat{e}_1, \hat{e}_2, \dots, \hat{e}_n$$

那么内积（标量积）为

$$\hat{\boldsymbol{e}}_i^T \hat{\boldsymbol{e}}j = \delta{ij} \quad (i, j = 1, 2, \dots, n)$$

其中 $\delta_{ij}$ 是前面定义的克罗内克δ（见第 5.2.1 节）。

因此，对称矩阵的归一化特征向量构成一个标准正交集（即它们构成一个相互正交的归一化向量集）。

一般而言，特征值和特征向量是复数，因此 (i) 给出了相当大的简化，可以证明如下：

命题 (i) 的证明

设 AX = λX

取复共轭 $\mathbf{A}^\mathbf{X}^ = \lambda^\mathbf{X}^$ ；由于 $\mathbf{A}$ 是实数，那么 $\mathbf{A}\mathbf{X}^* = \lambda^\mathbf{X}^$

取转置 $X^T \mathbf{A}^T = \lambda X^T$ ；由于 $\mathbf{A}$ 是对称的，那么 $X^T \mathbf{A} = \lambda X^T$

用左乘复共轭特征值方程 $X^T$ 得到

$$\mathbf{X}^T \mathbf{A} \mathbf{X}^* = \lambda^* \mathbf{X}^T \mathbf{X}^* \rightarrow \lambda \mathbf{X}^T \mathbf{X}^* = \lambda^* \mathbf{X}^T \mathbf{X}^* \quad \text{since} \quad \mathbf{X}^T \mathbf{A} = \lambda \mathbf{X}^T$$