解 的特征值为 $\mathbf{A}$ 是 $\lambda_1 = 6$ , $\lambda_2 = 3$ 和 $\lambda_3 = 1$ ，对应的特征向量为

$$\mathbf{e}_1 = [1 \ 2 \ 0]^T, \quad \mathbf{e}_2 = [0 \ 0 \ 1]^T, \quad \mathbf{e}_3 = [-2 \ 1 \ 0]^T$$

其归一化形式为

$$\hat{\mathbf{e}}_1 = [1 \ 2 \ 0]^T / \sqrt{5}, \quad \hat{\mathbf{e}}_2 = [0 \ 0 \ 1]^T, \quad \hat{\mathbf{e}}_3 = [-2 \ 1 \ 0]^T / \sqrt{5}$$

计算内积，我们可以看到，例如，

$$\hat{\mathbf{e}}_1^T \hat{\mathbf{e}}_1 = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} + 0 = 1, \quad \hat{\mathbf{e}}_1^T \hat{\mathbf{e}}_3 = -\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + 0 = 0$$

以及

$$\hat{\mathbf{e}}_i^T \hat{\mathbf{e}}j = \delta{ij} \quad (i, j = 1, 2, 3)$$

这证实了这些特征向量构成一个标准正交集。

例 5.51 考虑了重特征值的情形，并初步展示了将一组线性无关向量转化为正交向量组的格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）过程。

例 5.51

证明矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

具有特征值 3, 0, 0，并构造三个相互正交的特征向量。

解 特征方程为

$$\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \ 1 & 1 - \lambda & 1 \ 1 & 1 & 1 - \lambda \end{bmatrix} = -\lambda^2(\lambda - 3)$$

所以有根 3, 0, 0。对于特征值 3，验证 $[1 \ 1 \ 1]^T$ 是

$$\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 1 \ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \mathbf{0}$$

的一个解。对于特征值 0，寻找

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \mathbf{0}$$

的解。该矩阵有 $\text{rank} = 1$ ，所以我们有 $[q - \text{rank}(\mathbf{A} - \mathbf{0}\mathbf{I})] = 2$ 并期望有两个线性无关的特征向量。可以验证 $[-1 \ 0 \ 1]^T$ 和 $[-1 \ 1 \ 0]^T$ 是对应于零特征值的两个线性无关的特征向量。