因此找到了三个实特征值，正如一般性结论 (i) 所要求的，并且构造了三个线性无关的特征向量，正如一般性结论 (ii) 所要求的。然而，这些特征向量并不相互正交。特征向量 $[1 \ 1 \ 1]^T$ 与 $[-1 \ 0 \ 1]^T$ 和 $[-1 \ 1 \ 0]^T$ 正交，但后两个特征向量彼此不正交。不过，我们知道任何向量

$$\begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} -1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$$

也是一个特征向量。选取 $a = 1$ 和 $b = -2$ 得到 $[1 \ -2 \ 1]^T$ 它与 $[1 \ 1 \ 1]^T$ 和 $[-1 \ 0 \ 1]^T$ 都正交。因此，三个归一化且相互正交的特征向量为

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}, \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{bmatrix}$$

5.7.8 习题

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案。

102 验证 5.7.6 节的性质 1–8。

103 已知矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \ 2 & 5 & 4 \ -1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

的特征值为 5、3 和 1：

(a) 验证 5.7.6 节的性质 1–4；
(b) 取 $k = 2$ ，验证 5.7.6 节的性质 5–8。

104 求对称矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -3 & -3 & -3 \ -3 & 1 & -1 \ -3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

的特征值及对应的特征向量，并验证这些特征向量相互正交。

105 特征值为 6、3 和 2 的 $3 \times 3$ 对称矩阵 $\mathbf{A}$ 中，对应于特征值 6 和 3 的特征向量分别为 $[1 \ 1 \ 2]^T$ 和 $[1 \ 1 \ -1]^T$ 。求对应于特征值 2 的一个特征向量。

106 验证矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -\frac{3}{20} & \frac{1}{5} \ \frac{1}{5} & \frac{3}{20} \end{bmatrix}$$

具有特征值 $\pm\frac{1}{4}$ 以及对应的

特征向量 $\mathbf{X} = \begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$ 。的特征值是什么 $\mathbf{A}$ ？证明任意向量 $\mathbf{Z} = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$

可以写成 $\mathbf{Z} = \alpha \mathbf{X} + \beta \mathbf{Y}$ 并由此推出 $\mathbf{A}''\mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{0}$ 为 $n \rightarrow \infty$ .