的最大特征值 $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$ 。请验证结果 (5.42) 对你选择的任意向量都成立。

24 将一组直角笛卡尔坐标轴 $\Phi(\text{Ox}_1 x_2 x_3)$ 旋转到另一组 $\Phi'(\text{Ox}'_1 x'2 x'3)$ 由矩阵 $\mathbf{L} = (l{ij})$ ( $i, j = 1, 2, 3$ ) 描述，其中 $l{ij}$ 是 $\text{Ox}'_i$ 与 $\text{Ox}_j$ 之间夹角的余弦。证明 $\mathbf{L}$ 满足

$$\mathbf{L}\mathbf{L}^T = \mathbf{I}$$

，并证明空间中一点相对于这两组坐标轴的坐标之间满足以下关系：

$$\mathbf{X}' = \mathbf{L}\mathbf{X}$$

其中 $\mathbf{X}' = [x'_1 \ x'_2 \ x'_3]^T$ 和 $\mathbf{X} = [x_1 \ x_2 \ x_3]^T$ 。

证明

$$x_1'^2 + x_2'^2 + x_3'^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$$

描述轴之间的关系 $\Phi$ 和 $\Phi'$ 已知

$$\mathbf{L} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\sqrt{3} \ 0 & 1 & 0 \ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

这些轴 $\Phi'$ 现在绕 $45^\circ$ 旋转 $\text{Ox}'_3$ ，方向从 $\text{Ox}'_1$ 到 $\text{Ox}'_2$ 以构成一个新集合 $\Phi''$ 。证明角 $\theta$ （直线 OP 与该轴之间的夹角） $\text{Ox}''_1$ ，其中 P 是坐标为 $(1, 2, -1)$ （相对于原坐标系）的点， $\Phi$ 为

$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5\sqrt{3} - 3}{12}\right)$$

25 一辆汽车静止在水平地面上，如图 5.25 所示。重力 $W$ 作用于重心，弹簧的刚度常数为 $k_1$ 和 $k_2$ 和自然长度 $a_1$ 以及 $a_2$ 。证明高度 $z$ 和角度 $\theta$ （假设过小）满足矩阵方程

图 5.25 停在水平地面上的汽车。

$$\begin{bmatrix} -W + a_1k_1 + a_2k_2 \ l_1k_1a_1 - l_2k_2a_2 \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} k_1 + k_2 & -l_1k_1 + l_2k_2 \ l_1k_1 - l_2k_2 & -l_1^2k_1 - l_2^2k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z \ \theta \end{bmatrix}$$

为各参数取合理的值以确保 $\theta = 0$ 。

26 在图 5.26(a) 的电路中，证明方程可以写成

$$\begin{bmatrix} E_1 \ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & Z_1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_2 \ I_2 \end{bmatrix}$$

而在图 5.26(b) 中它们具有如下形式

$$\begin{bmatrix} E_1 \ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 1/Z_2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_2 \ I_2 \end{bmatrix}$$

将图 5.26(c) 的电路划分为若干模块，其中一个模块的输出作为下一个模块的输入，分析 $I_1$ , $E_1$ 和 $I_2$ , $E_2$ .

(a)

(b)

(c)

图 5.26