$$(c) \begin{bmatrix} 5 & -2 & 0 \ -2 & 6 & 2 \ 0 & 2 & 7 \end{bmatrix} = \mathbf{C}$$

在 (c) 中，将归一化的特征向量写成矩阵的列 $\mathbf{U}$ 并证明 $\mathbf{U}^T \mathbf{C} \mathbf{U}$ 是一个对角矩阵，其对角线上为特征值。

19 向量 $[1 \ 0 \ 1]^T$ 是对称矩阵

$$\begin{bmatrix} 6 & -1 & 3 \ -1 & 7 & \alpha \ 3 & \alpha & \beta \end{bmatrix}$$

的一个特征向量。求 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值，并求出相应的特征值。

20 证明矩阵 $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \ 0 & 1 & 0 \ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ 的特征值为

1, 1 和 -3。求相应的特征向量。是否存在由三个独立特征向量构成的完整集合？

21 定期观察一个昆虫群落，它由四个年龄组组成，各组分别包含 $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ , $n_4$ 只昆虫。在一个周期结束时，第 1 组的 $n_1$ 中有些已经死亡，且 $(1 - \beta_1)n_1$ 成为新的第 2 组。类似地 $(1 - \beta_2)n_2$ 的第 2 组成为新的第 3 组，且 $(1 - \beta_3)n_3$ 的第 3 组成为新的第 4 组。所有第 4 组在该区间末尾全部消亡。第 2、3、4 组产生 $\alpha_2 n_2$ , $\alpha_3 n_3$ 和 $\alpha_4 n_4$ 只进入第 1 组的幼年昆虫。证明从一个区间到下一个区间的变化可以写成

$$\begin{bmatrix} n_1 \ n_2 \ n_3 \ n_4 \end{bmatrix}{\text{new}} = \begin{bmatrix} 0 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4 \ 1 - \beta_1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 - \beta_2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 - \beta_3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 \ n_2 \ n_3 \ n_4 \end{bmatrix}{\text{old}}$$

取 $\alpha_3 = 0.5$ , $\alpha_4 = 0.25$ , $\beta_1 = 0.2$ , $\beta_2 = 0.25$ 和 $\beta_3 = 0.5$ 。尝试取值 $\alpha_2 = 0.77$ , $0.78$ , $0.79$ 并检验从初始

$$\text{population} \begin{bmatrix} 100 \ 90 \ 50 \ 30 \end{bmatrix}$$

开始经过许多区间后，种群是增长还是消亡

在三种情况下分别求特征值，并检查特征值的大小。存活与特征值之间是否存在任何联系？

现实的种群可以用这种方法建模；这些矩阵称为 Leslie 矩阵。

22 (a) 求特征值 $\lambda_1$ , $\lambda_2$ 以及归一化特征向量 $\mathbf{X}_1$ , $\mathbf{X}_2$ 矩阵的 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 。验证

$$\mathbf{A} = \lambda_1 \mathbf{X}_1 \mathbf{X}_1^T + \lambda_2 \mathbf{X}_2 \mathbf{X}_2^T$$

(b) 使用 MATLAB 对以下矩阵的三个特征值和归一化特征向量重复类似的计算

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$$

注： 本题所述过程计算对称矩阵的谱分解。

23 在 5.7.7 节中曾指出，对称矩阵 $\mathbf{A}$ 具有实特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ （按降序排列）及相应的标准正交特征向量 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n$ ，即 $\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}j = \delta{ij}$ 。因此，任何向量都可以写成

$$\mathbf{X} = c_1 \mathbf{e}_1 + c_2 \mathbf{e}_2 + \dots + c_n \mathbf{e}_n$$

推出

$$\frac{\mathbf{X}^T \mathbf{A} \mathbf{X}}{\mathbf{X}^T \mathbf{X}} \leq \lambda_1 \quad (5.42)$$

这样就得到了最大特征值的一个下界。式 (5.42) 的左端称为瑞利商。

$$\text{It is known that the matrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \text{ has a}$$