6.1 引言

“离散数学”这一术语常被视为描述数学中一个新颖且令人兴奋的领域，其应用涉及数字电子学。绝大多数人都知道个人计算机使用数字电子技术运行，而以前诸如无线电和电视传输等模拟系统如今也已完全数字化。与传统的模拟系统相比，数字系统更不容易因耗散、衰减和噪声干扰而导致信号损失。数字系统能够以非常高效且经济的方式处理再现高分辨率图形所需的海量信息，正是这一优势的体现。数字化的另一个结果是更高的安全性，这得益于基于数系离散数学的更难破解的加密算法。数字技术以及数字系统都在利用离散数学。具有讽刺意味的是，离散数学本身其实非常古老。事实上，它比微积分还要早，微积分或许可以被称为“连续数学”。所有的计数都是离散数学。然而，直到十九和二十世纪，乔治·布尔（George Boole，1815–1864）等数学家才为集合论奠定了严格的基础。伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872–1970）和阿尔弗雷德·诺思·怀特海（Alfred North Whitehead，1861–1947），以及后来的库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906–1978）在逻辑和数学基础方面的工作，对二十世纪数学的发展产生了深远影响，而这些工作与集合论问题密切相关。这些内容如今与工程学有着极大的相关性。

长期以来，电子工程师一直需要布尔代数的知识，以便理解开关电路的原理。计算机如今已成为工程领域的重要组成部分：过程由计算机控制，机器人制造已司空见惯，设计也由计算机辅助。工程师现在有责任理解如何检验用于设计、构建和维修的算法的正确性。要做到这一点，命题逻辑等离散数学的分支就必须成为工程师核心课程的一部分，而不是可选的附加内容。本章以合乎逻辑且系统的方式展开所需的数学内容，从集合及其在制造业中的应用开始，接着转向开关电路及其在电子学中的应用，然后是命题演算及其在计算中的应用。

6.2 集合论

集合的概念相对较新，它诞生于过去150年间。在过去的几十年里，它日益流行，如今已成为学校数学的一部分——这很自然，因为其中涉及的概念虽然乍看之下可能有些陌生，但并不困难。

集合论关注的是识别对象之间的一个或多个共同特征。我们首先介绍基本概念和集合运算，然后考察一些应用。最大的应用领域值得单独设节讨论；不过，在本节中，我们将集合论的基本原理应用于零部件的制造与高效装配。