6.2.1 定义与记号

集合是由一些对象组成的整体，这些对象称为该集合的元素或成员。我们将用大写字母如 A、S 和 X 表示集合，用小写字母如 a、s 和 x 表示集合的元素。记号 $\in$ 的用法如下：如果元素 a 包含于集合 S 中，则我们写作

a [ S

读作“a 属于 S”。如果 b 不属于 S，则使用符号 $\notin$ ：

b Ó S

读作“b 不属于 S”。

有限集是只包含有限个元素的集合，而无限集是由无限多个元素组成的集合。例如，

• (i) 一年中的月份构成一个有限集，而
• (ii) 由所有整数组成的集合是一个无限集。

如果我们想表示 S 的构成，有两种方法。第一种方法只适用于有限集，即将集合的元素列在一对花括号之间，例如

$$S = {a, b, c, d, e, f}$$

它表示仅由六个元素 a、b、c、d、e 和 f 组成的集合 S。

第二种方法是给出一个规则，通过它可以确定集合的所有元素。记号

$$S = {x: x \text{ has property } P}$$

将用来表示所有具有性质 P 的元素 x 组成的集合。例如，

• (i) $S = {N : N \in \mathbb{Z}, N \leq 500}$

是小于或等于 500 的整数组成的集合，而

• (ii) $S = {x: x^2 - x - 6 = 0, x \in \mathbb{R}}$

是仅包含 3 和 −2 这两个元素的集合。

无限集的一个例子是

$$S = {x: 0 \leq x \leq 1, x \in \mathbb{R}}$$

它表示位于 0 到 1 范围内的所有实数，包括 0 和 1 本身。

我们很少满足于早期学校数学所钟爱的那种陈述，比如“S 是所有水果的集合”。

两个集合 $A$ 和 $B$ 被称为相等，如果其中每个集合的每个元素也是另一个集合的元素。对于这样的集合，我们写作 $A = B$ ；否则我们写作 $A \neq B$ 。

例如，

$$A = {3, 4}$$    和    $B = {x: x^2 - 7x + 12 = 0}$