6.2.3 练习题

1 用列举法表示下列集合：

$$A = {x: x < 10, x \text{ a natural number}}$$

$$B = {x: x^2 = 16, x \in \mathbb{R}}$$

$$C = {x: 4 < x < 11, x \text{ an integer}}$$

$$D = {x: 0 < x < 28, x \text{ an integer divisible by } 4}$$

2

2 对于第 1 题中的集合 $A$ , $B$ , $C$ 和 $D$ ，列出集合 $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \cup C$ , $A \cap C$ , $B \cup D$ , $B \cap D$ 和 $B \cap C$ .

3

3 若 $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ , $B = {2, 4, 6, 8, 10}$ 和 $C = {1, 4, 5, 8, 9}$ ，列出集合 $A \cup B$ , $A \cap C$ , $A \cap B$ , $B \cup C$ 和 $B \cap C$ .

44 用维恩图表示下列集合：

$$\overline{A} \cap \overline{B}, \overline{A} \cup \overline{B}, \overline{A \cap B}, \overline{A \cup B}, A \cup \overline{B}$$

5

5 已知

$$A = {N : N \text{ an integer } 1 \leq N \leq 10}$$

$$B = {N: N \text{ an even integer, } N \leq 20}$$

和

$$C = {N: N = 2^n, n \text{ an integer, } 1 \leq n \leq 5}$$

求下列各项：

(a) $$A \cup B$$      (b) $A \cap B$

(c) $$A \cup C$$      (d) $A \cap C$

66 对于第 5 题中定义的集合，判断下列命题的真假：

(a) $$A \cap B \supseteq A \cap C$$

(b) $$A \cup B \supseteq C$$

(c) $$A \cup B \subseteq C$$

77 若全集是所有小于或等于 32 的整数的集合，且 A 和 B 如第 5 题所定义，解释

(a) $$\overline{A}$$                      (b) $\overline{A \cup B}$                      (c) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(d) $$\overline{A \cap B}$$      (e) $\overline{A} \cup \overline{B}$

88 (a) 若 $A \subset B$ 和 $A \subset \bar{B}$ ，证明 $A = \emptyset$ 。

(b) 若 $$A \subset B$$ 和 $C \subset D$ , 证明 $(A \cup C) \subset$

$(B \cup D)$ 并用维恩图说明该结果。

6.2.4 集合的代数

前面我们看到，给定两个集合 $A$ 和 $B$ ，运算 $\cup$ 和 $\cap$ 可用于生成另外两个集合 $A \cup B$ 和 $A \cap B$ （见 6.2.2 节）。然后这两个新集合可以与第三个集合 $C$ 组合，该集合与同一个全集相关联 $U$ 作为集合 $A$ 和 $B$ ，构成另外四个集合

$$C \cup (A \cup B), C \cap (A \cup B), C \cup (A \cap B), C \cap (A \cap B)$$

这些集合的构成在图 6.3 的维恩图中由阴影区域清晰地表示出来。

显然，通过组合使用二元运算 $\cup$ 和 $\cap$ 以及求补的一元运算（ $\neg$ ），可以生成许多其他集合。在实践中，有一些规则能帮助我们简化涉及 $\cup$ , $\cap$ 和 $\neg$ 的表达式是很有用的。在本节中我们将建立这些规则，它们构成了集合代数的基础。在下一节中，我们将进一步展示这种代数与开关电路代数之间的类比，后者被执业工程师广泛使用。

给定三个集合 $A$ , $B$ 和 $C$ , 属于同一个全集 $U$ , 我们已经看到运算 $\cup$ 和 $\cap$ 是可交换的，因此我们有以下结论：