结合律

$$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$$ （并运算满足结合律）(6.5)
$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ （交运算满足结合律）

分配律

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$ （并对交满足分配律）(6.6) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ （交对并满足分配律）

读者应通过考察图 6.3 中的维恩图，自行验证结果 (6.5) 和 (6.6) 的正确性。

(6.1)–(6.6) 中表达的定律构成了集合代数的基本定律。集合代数本身是一种更一般的逻辑结构的特例，这种结构称为布尔代数（以乔治·布尔命名），其简要定义如下：

一个由元素（此处等价于集合）组成的类，连同两个二元运算（等价于并和交）以及一个一元运算（等价于补运算），若这些运算满足交换律 (6.1)、同一律 (6.3)、补余律 (6.4) 和分配律 (6.6) 的等价形式，则构成一个布尔代数。

我们注意到，因此没有必要在集合代数的基本规则中包含幂等律 (6.2) 和结合律 (6.5)，因为它们可以很容易地从其他定律推导出来。读者此时应当思考并比较集合代数的基本规则与常规数值代数的相关规则，后者的二元运算是加法（ $+$ ）和乘法（ $\times$ ），其单位元是零 (0) 和一 (1)。应当注意，在数值代数中不存在等价于补运算的一元运算，幂等律不成立，且加法对乘法不满足分配律。

虽然规则 (6.1)–(6.6) 已足以使我们化简涉及 $\cup$ , $\cap$ 和 $\overline{\cap}$ 的表达式，但以下以奥古斯都·德摩根（1806–1871）命名的定律，即德摩根定律，在实践中也很有用。

德摩根定律

$$\begin{aligned}\bar{A} \cup\bar{B} &= \bar{A}\cap\bar{B} \ \bar{A}\cap\bar{B} &= \bar{A}\cup\bar{B}\end{aligned}\tag{6.7}$$

这些定律中的第一条指出“两个集合并集的补集是两个补集的交集”，而第二条指出“两个集合交集的补集是两个补集的并集”。这些结果的有效性由图 6.4 的维恩图说明，它们使我们能够对表达式取否定或取反。

如果我们观察 (6.1)–(6.6) 中每一对定律，并将 $\cup$ 替换为 $\cap$ 并在每对的第一条定律中互换 $\emptyset$ 和 $U$ 那么我们就得到每对中的第二条定律。