图 6.4.4

反之，如果我们替换 $\cap$ 和 $\cup$ 并交换 $\emptyset$ 和 $U$ 在每一对的第二定律中，我们就得到第一定律。这一重要观察包含在对偶原理中，该原理指出：如果任何包含 $\cup$ , $\cap$ 和 $\bar{\cup}$ 的陈述对所有集合都成立，那么其对偶陈述（通过将 $\cup$ 替换为 $\cap$ , $\emptyset$ 替换为 $U$ 和 $U$ 由 $\emptyset$ ) 对所有集合也成立。这对于包含关系同样成立，其对偶性存在于 $\subset$ 和 $\supset$ .

例 6.2

使用定律 (6.1)–(6.6)，验证命题

$$(\bar{A} \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup A = U$$

并明确指出每一步所使用的定律。

解

从左边开始，我们有

$$\begin{aligned} \text{LHS} &= (\bar{A} \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup A \ &= (\bar{B} \cup \bar{A}) \cup (\bar{A} \cup \bar{B} \cup \bar{C}) \cup A && \text{(De Morgan laws)} \ &= (\bar{B} \cup \bar{A}) \cup (A \cup B \cup \bar{C}) \cup A && (\bar{A} = A) \ &= \bar{A} \cup (A \cup A) \cup (\bar{B} \cup B) \cup \bar{C} && \text{(associative and commutative)} \ &= (\bar{A} \cup A) \cup (\bar{B} \cup B) \cup \bar{C} && \text{(idempotent)} \ &= (U \cup U) \cup \bar{C} && \text{(complementary)} \ &= U \cup \bar{C} && \text{(idempotent)} \ &= U && \text{(definition of union)} \ &= \text{RHS} \end{aligned}$$

例 6.3

在对三种不同品牌 X、Y 和 Z 洗衣粉的受欢迎程度进行调查时，共采访了 100 名用户，结果如下：30 人只使用品牌 X，22 人只使用品牌 Y，18 人只使用品牌 Z，8 人使用品牌 X 和 Y，9 人使用品牌 X 和 Z，7 人使用品牌 Z 和 Y，14 人不使用任何品牌。

1. (a) 有多少用户使用品牌 X、Y 和 Z？
2. (b) 有多少用户使用品牌 X 和 Z 但不使用品牌 Y？