20 求下列各和的值：

(a) $$1 + 2 + 3 + \dots + 152 + 153$$

(b) $$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 152^2 + 153^2$$

$$(c) \quad \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + (\frac{1}{2})^{152} + (\frac{1}{2}{2})^{153}$$

(d) $$2 + 6 + 18 + \dots + 2(3)^{152} + 2(3)^{153}$$

(e) $$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 152 \cdot 153 + 153 \cdot 154$$

$$(f) \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \dots + \frac{1}{152.153} + \frac{1}{153.154}$$

21 某种细菌通过分裂进行繁殖，每次分裂产生四个与母体细菌完全相同的新细菌。如果细菌按这种方式分裂 $n$ 次，那么假设没有细菌死亡，每次分裂后的细菌数量由数列 ${B_k}_{k=0}^n$ 给出，其中

$$B_k = \frac{4^{k+1} - 1}{3}$$

三个这样的细菌分裂 n 次且没有细菌死亡。细菌总数为 1 048 575。细菌分裂了多少次？

22 通过考虑和式

$$\sum_{k=1}^n [(k+1)^4 - k^4]$$

证明

$$\sum_{k=1}^n k^3 = [\frac{1}{2}n(n+1)]^2$$

23 固定利率、固定期限贷款的每期还款额可以通过将每期还款的现值求和来计算。该总和必须等于借款金额。利率为 r% 时，k 年后支付的每期 £x 的现值为

$$\mathfrak{L} = \frac{x}{(1 + r/100)^k}$$

因此，以 r% 的利率借款 £1000、期限 n 年满足方程

$$1000 = \frac{x}{1 + r/100} + \frac{x}{(1 + r/100)^2} + \dots$$

$$+ \frac{x}{(1 + r/100)^n}$$

求 $x$ （用 x、n 和 r 表示） $r$ 和 $n$ 并在以下情况下计算其值： $r = 10$ 和 $n = 20$ 。

24 考虑级数

$$S_n = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \dots + \frac{n}{2^n}$$

证明

$$\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \dots + \frac{n}{2^{n+1}}$$

并由此证明

$$S_n - \frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^n} + \frac{n}{2^{2n}}$$

从而求该级数的和。

25 考虑一般的算术-几何级数

$$\begin{aligned} S_n = & a + (a + d)r + (a + 2d)r^2 + \dots \ & + [a + (n - 1)d]r^{n-1} \end{aligned}$$

证明

$$(1 - r)S_n = a + dr + dr^2 + \dots \ + dr^{n-1} - [a + (n - 1)d]r^n$$

并求 Sn 的一个简单表达式。

7.4 递推关系

我们在例 7.1 中看到，有时数列的元素满足某种递推关系，使得数列 {xk} 的元素 xn 的值可以用该数列前面元素的值来表示。一般地，我们可能有如下形式的公式