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$$s = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$$

类似地，考虑例 7.11

syms x k n

$$s = \text{symsum}(1/(k^*(k + 1)), 1, n);$$

$$s = \text{simplify}(s)$$

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$$s = n/(n + 1)$$

• 14 (a) 求首项和第二项分别为 4 和 7 的等差数列的第五项和第十项。

• (b) 某等比数列的首项和第六项分别为 5 和 160。求中间各项。 15 某人开办了一家企业，第一年亏损 15 万英镑，第二年亏损 12 万英镑，第三年亏损 9 万英镑。如果这种改善以相同的速度持续下去，求该人在 20 年末的总利润或总亏损。多少年后亏损恰好被收益抵消？ 16 证明

  $$\frac{1}{1 + \sqrt{x}}, \quad \frac{1}{1 - x}, \quad \frac{1}{1 - \sqrt{x}}$$ 成等差数列，并求以这三项为前三项的数列的 $n$ 次项。 17 半径为 1 的圆的面积是一个超越数（即不能通过求解代数方程的过程得到的数），用希腊字母 $\pi$ 表示。为了计算它的值，我们可以使用一个极限过程，其中 $\pi$ 是一个已知数列的极限。阿基米德所用的方法是在圆内作一系列内接正多边形。随着边数的增加，多边形逐渐“填满”圆。利用三角恒等式证明 $\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2\theta$ ，该面积 $a_n$ 内接正多边形 $n$ 条边满足方程

$$2\left(\frac{a_{2n}}{n}\right)^2 = 1 - \sqrt{\left[1 - \left(\frac{2a_n}{n}\right)^2\right]} \quad (n \geq 4)$$

证明 $a_4 = 2$ 并利用递推关系求 $a_{64}$ 。

18 调和数列是具有如下性质的数列：数列中任意三个连续项（设为 a、b 和 c）满足

$$\frac{a}{c} = \frac{a - b}{b - c}$$

证明调和数列各项的倒数构成等差数列。进而求出一个八项调和数列的中间各项，其首项和末项分别为 ³ 和 ^{2 17} 。

19 房价每年上涨 10%。证明第 n 年的房价 Pn 满足递推关系

$$P_{n+1} = 1.1P_n$$

一套房子目前的价格为 £80 000。它两年前的价格是多少？五年后它的价格将是多少？多少年后它的价格将是现在的两倍？

7.3.4 练习