其中 $A = C - b(1 - a)$ 。在下一个例子之后，我们将看到这个解（以及更一般问题的解）可以通过另一种方法更快地得到。注意到 $Aa^n$ 是齐次关系式 (7.7) 的通解，并且 $x_n = b(1 - a)$ ，对所有 $n$ ，满足完整的递推关系 $x_{n+1} = ax_n + b$ ，因此它是该关系式的一个特解。

例 7.14 计算在利率固定为 100i% 的情况下，用 N 年摊还 £D 债务所需的每年固定还款额 £B。

解

解 设 $\mathcal{E}d_n$ 表示 $n$ 年后剩余的债务。那么，按照与例 7.1 相同的论证， $d_0 = D$ 且

$$d_{n+1} = (1 + i)d_n - B$$

这与递推关系 (7.9) 类似，但带有 $a = (1 + i)$ 和 $b = -B$ 。因此，利用 (7.10) 我们可以将通解写为

$$d_n = A(1+i)^n - \frac{B}{1-(1+i)} = A(1+i)^n + B/i$$

此外，我们知道 $d_0 = D$ 所以 $D = A + B/i$ 从而特解由下式给出

$$d_n = (D - B/i)(1 + i)^n + B/i$$

我们需要求出 $B$ 的值，使得债务在 $N$ 年后为零，即 $d_N = 0$ 。于是

$$0 = (D - B/i)(1 + i)^N + B/i$$

求解该方程得到 $B$ 作为所需的付款额。

总之，我们有：一阶递推关系

$$B = \frac{iD(1+i)^N}{(1+i)^N - 1} = iD/[1 - (1+i)^{-N}]$$

的通解可以表示为简化关系

$$x_{n+1} = ax_n + b$$

的通解与完整关系 (7.9) 的一个特解之和。

$$x_{n+1} = ax_n$$