对于一般的线性递推关系，即形如

$$x_{n+1} = a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} + \dots + a_1 x_1 + a_0$$

的递推关系，这一点都成立，其中系数 ak 与 xk 无关，但可能依赖于 n。这一性质在完全一般的情况下很容易证明，而且同样的证明也适用于上面最简单的情形 (7.9)。

假设我们能确定 (7.9) 的一个特解 pn，使得

$$p_{n+1} = ap_n + b$$

现在我们寻找一个函数 qn，它与 pn 互补，使得

$$x_n = p_n + q_n$$

是 (7.9) 的通解。将 xn 代入该关系式可得

$$p_{n+1} + q_{n+1} = ap_n + aq_n + b$$

由于 $p_{n+1} = ap_n + b$ ，这意味着

$$q_{n+1} = aq_n$$

由 (7.8)，该关系式的通解为

$$q_n = A a^n$$

其中 A 是常数。因此 (7.9) 的通解为

$$x_n = p_n + A a^n$$

由于 qn 与 pn 互补构成通解，它通常被称为补解。如前所述，对于一阶递推关系，我们总能找到补解。于是剩下的任务就是求特解 pn。求 pn 的方法取决于项 b，我们将在例 7.15 中加以说明。

事实上，通解等于一个特解与一个补解之和这一性质适用于所有线性系统，包括连续的和离散的。稍后（见第 10 章）在考虑线性常微分方程的通解时，我们还会再次遇到它。

例 7.15 求下列递推关系的通解

(a) $$x_{n+1} = 3x_n + 4$$      (b) $x_{n+1} = x_n + 4$

(b) $$x_{n+1} = x_n + 4$$

(c) $$x_{n+1} = \alpha x_n + C\beta^n$$

(d) $$x_{n+1} = \alpha x_n + C\alpha^n$$ ( $\alpha, \beta, C$ 为给定常数)

解答 (a) 首先我们尝试求任意形如 $n$ 它将满足该关系式。由于它包含常数项 4，凭常识可以看看是否存在一个常数 $K$ 满足该关系式。（这样所有项都将是常数。）设 $x_n = K$ 意味着 $x_{n+1} = K$ 于是我们有

$$K = 3K + 4$$