$$\begin{aligned} \text{(d) } E(n) &= 3(-2)^{n+2} + 5(-2)^{n+1} - 2(-2)^n \ &= (3 \times 4 - 5 \times 2 - 2)(-2)^n \end{aligned}$$ $$= 0$$ 因此 $x_n = (-2)^n$ 和 $x_n = (\frac{1}{3})^n$ 都满足该递推关系

$$3x_{n+2} + 5x_{n+1} - 2x_n = 0$$

例 7.17 (a) 通过直接代入递推关系证明

$$x_{n+2} - x_{n+1} - 6x_n = 0$$

和 $x_n = 3^n$ 是两个解。

(b) 进一步验证 $x_n = (-2)^n$ ，其中 $x_n = A(-2)^n + B3^n$ 和 $A$ 为常数，也是一个解。

解 (a) 其中 $B$ $x_n = 3^n$

$$\begin{aligned} x_{n+2} - x_{n+1} - 6x_n &= 3^{n+2} - 3^{n+1} - 6x3^n \ &= (3^2 - 3 - 6)3^n = 0 \end{aligned}$$

其中 $x_n = (-2)^n$

$$x_{n+2} - x_{n+1} - 6x_n = (-2)^{n+2} - (-2)^{n+1} - 6(-2)^n = (4 + 2 - 6)(-2)^n = 0$$

因此 $x_n = 3^n$ 和 $x_n = (-2)^n$ 是该递推关系的解。

(b) 令 $x_n = A(-2)^n + B(3^n)$ 得到

$$\begin{aligned} A(-2)^{n+2} + B3^{n+2} - A(-2)^{n+1} - B3^{n+1} - 6A(-2)^n - 6B(3)^n \ = A[(-2)^{n+2} - (-2)^{n+1} - 6(-2)^n] + B[3^{n+2} - 3^{n+1} - 6(3)^n] \ = A.0 + B.0 = 0 \end{aligned}$$

所以 $x_n = A(-2)^n + B3^n$ 也是该递推关系的一个解。

二阶常系数线性递推关系具有如下形式

$$x_{n+2} = ax_{n+1} + bx_n + c_n \quad (7.11)$$

如果 $c_n = 0$ 对所有 $n$ 都成立，则称该关系为齐次的。与前面一样，(7.11) 的解可以表示为如下形式

$$x_n = p_n + q_n$$

其中 $p_n$ 是满足 (7.11) 的任意解，而 $q_n$ 是相应齐次递推关系的通解

$$x_{n+2} = ax_{n+1} + bx_n \quad (7.12)$$