7.4.3 具有常系数的二阶线性递推关系

例 7.16 计算表达式 $E(n) = 3x_{n+2} + 5x_{n+1} - 2x_n$ 其中 $x_n$ 对于 $n \geq 0$ 定义为

• (a) $x_n = 3^n$
• ^a (b) $x_n = 3^{-n}$
• ¹ (c) $x_n = 3(2^{-n})$ (d) $x_n = (-2)^n$ 。

解 (a) $$E(n) = 3 \times 3^{n+2} + 5 \times 3^{n+1} - 2 \times 3^n$$

$= (27 + 15 - 2)3^n$
$= 40 \times 3^n$

• $$\begin{aligned} (b) \quad & E(n) = 3 \times 3^{-n-2} + 5 \times 3^{-n-1} - 2 \times 3^{-n} \ & = (3 \times 3^{-2} + 5 \times 3^{-1} - 2)3^{-n} \ & = \left(\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 2\right)3^{-n} = 0 \end{aligned}$$

• $$\begin{aligned} \text{(c) } E(n) &= 3 \times 3 \times 2^{-n-2} + 5 \times 3 \times 2^{-n-1} - 2 \times 3 \times 2^{-n} \ &= 3 \left( \frac{3}{4} + \frac{5}{2} - 2 \right) 2^{-n} \ &= \frac{15}{4} \times 2^{-n} = 15 \times 2^{-n-2} \end{aligned}$$

7.4.2 习题

在完成 7.4.3 节后，使用 MATLAB 回来检查你对第 26 题和第 28 题的答案。

• 26 求下列递推关系的通解
• ⁿ (d) $x_{n+1} = 2x_n + 3 \times 2^n$

27 如果一笔债务通过每年等额还款金额 $B$ 来摊还，且利息按利率 $i$ 每年，则债务在 $n$ 年后， $d_n$ ，满足 $d_{n+1} = (1 + i)d_n - B$ ，其中 $d_0 = D$ 为初始债务。

证明 $d_n = D(1+i)^n + B \frac{1 - (1+i)^n}{i}$

并由此推出，要在第 N 次付款时还清债务，我们必须取 $B = \frac{Di}{1 - (1 + i)^{-N}}$ 。

若以年利率 0.12（即 12%）借入 10 000 英镑，计算（精确到

1 英镑）能在 10 年末摊还债务的适当年付款额。

对于该年付款额，计算债务的数额 $d_n$ 当 $n = 1, 2, \dots, 10$ （使用递推关系而非其解，并将答案记录到最接近的 1 英镑），并计算该数列的一阶差分。简要评论一阶差分的变化情况。

28 求线性递推关系

$$(n+1)^2 x_{n+1} - n^2 x_n = 1, \quad \text{for } n \geq 1$$

的通解（提示： 系数不是常数。使用代换 $z_n = n^2 x_n$ 为求一个常系数方程，针对 $z_n$ 。求其通解，针对 $z_n$ 从而求得 $x_n$ .)