由于 $x_0 = 1$ ，我们推出 $1 = A + B$

由于 $x_1 = 1$ ，我们推出 $1 = A\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) + B\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)$

解这些联立方程得到

$$A = (1 + \sqrt{5})/(2\sqrt{5}) \quad \text{and} \quad B = -(1 - \sqrt{5})/(2\sqrt{5})$$

从而

$$x_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} \right]$$

从而显式地定义了斐波那契数列。

我们已经看到，总能找到递推关系 (7.11) 的 $q_n$ 补解

$$x_{n+2} = ax_{n+1} + bx_n + c_n$$

该关系的通解是它的一个特解 $p_n$ 与补解之和 $q_n$ . 那么，问题就是如何找到一个解 $p_n$ . 这里我们将使用基于经验和试错的方法。

例 7.19

求出所有的解

• (a) $x_{n+2} = \frac{7}{2}x_{n+1} - \frac{3}{2}x_n + 12$ ，其中 $x_0 = x_1 = 1$
• (b) $x_{n+2} = \frac{7}{2}x_{n+1} - \frac{3}{2}x_n + 12n$
• (c) $x_{n+2} = \frac{7}{2}x_{n+1} - \frac{3}{2}x_n + 3(2^n)$

解

(a) 首先我们求出对应的齐次关系的通解 $x_{n+2} = \frac{7}{2}x_{n+1} - \frac{3}{2}x_n$ 其特征方程为 $\lambda^2 = \frac{7}{2}\lambda - \frac{3}{2}$ 其根为 $\lambda = 3$ 和 $\lambda = \frac{1}{2}$ 。因此，补解为

$$x_n = A3^n + B(\frac{1}{2})^n$$

接下来我们求出一个特解

$$x_{n+2} = \frac{7}{2}x_{n+1} - \frac{3}{2}x_n + 12$$

我们尝试最简单的函数 $x_n = K$ （对所有 $n$ ）。然后，如果这是一个解，我们有

$$K = \frac{7}{2}K - \frac{3}{2}K + 12$$

得到 $K = -12$ 。

因此 $p_n = -12$ 且通解为

$$x_n = -12 + A3^n + B(\frac{1}{2})^n$$

代入初始条件 $x_0 = 1$ , $x_1 = 1$ 得到关于任意常数 $A$ 和的两个方程 $B$

$$A + B - 12 = 1$$

$$3A + \frac{1}{2}B - 12 = 1$$