由此我们推出 $A = 13/5$ 且 $B = 52/5$ 。因此，符合初始条件的特解为

$$x_n = \frac{13}{5} 3^n + \frac{52}{5} \frac{1}{2^n} - 12$$

(b) 此题与 (a) 具有相同的齐次解，所以我们只需求出一个特解。我们尝试函数 $x_n = Kn + L$ ，其中 $K$ 和 $L$ 为常数。代入递推关系式得

$$K(n+2) + L \equiv \frac{7}{2}[K(n+1) + L] - \frac{3}{2}[Kn + L] + 12n$$

于是

$$Kn + 2K + L \equiv 2Kn + \frac{7}{2}K}K + 2L + 12n$$

比较 $n$ 的系数可得

$$K = 2K + 12$$

因此 $K = -12$ 。

比较与 $n$ 无关的项，得

$$2K + L \equiv \frac{7}{2}K + 2L$$

因此 $L = -\frac{3}{2}K = 18$ ，且所求的通解为

$$x_n = -12n + 18 + A3^n + B(\frac{1}{2})^n$$

(c) 它与 (a) 具有相同的余函数，所以我们只需找一个特解。为此我们尝试 $x_n = K2^n$ ，得到

$$K(2^{n+2}) = \frac{7}{2}K(2^{n+1}) - \frac{3}{2}K(2^n) + 3(2^n)$$

因此

$$(4 - 7 + \frac{3}{2})K(2^n) = 3(2^n)$$

于是 $K = -2$ 且所求的通解为

$$x_n = -2(2^n) + A3^n + B/2^n$$

当特征方程的根为复数时，齐次递推关系的通解具有不同的形式，如例 7.20 所示。

例 7.20 证明递推关系

$$x_{n+2} = 6x_{n+1} - 25x_n$$

的通解可以表示为如下形式

$$x_n = 5^n(A \cos n\theta + B \sin n\theta)$$