和

$$x_n = 1.41$$ 对于 $n \geq 22$

该数列的第 $x_{22}$ 项和第 $x_{23}$ 项在保留两位小数时无法区分；换句话说，它们的差小于一个舍入误差。这种情况在图 7.4(b) 中清晰地展示出来。这种现象出现在许多数列中，我们说该数列趋于一个极限或有极限值或收敛或是收敛的。虽然在上面的例子中，我们说数列收敛到 $\sqrt{2}$ 的含义是清楚的，但我们需要一个适用于所有可能出现情形的精确定义。

一般地，数列 ${a_k}_{k=0}^\infty$ 具有极限值 $a$ 如果 $n$ 变得很大时，即给定一个小的正数 $\varepsilon$ （无论多么小）， $a_n$ 不同于 $a$ 相差小于 $\varepsilon$ 对于所有充分大的 $n$ 。更简洁地说，

$$a_n \rightarrow a$$ 作为 $n \rightarrow \infty$ 如果，给定任意 $\varepsilon > 0$ ，存在一个数 $N$ 使得 $|a_n - a| < \varepsilon$ 对于所有 $n > N$ 。

这里 $\rightarrow$ 表示“趋于该值”或“收敛于该极限”。对于 $a_n \rightarrow a$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时，另一种记法是

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a$$

用图示来说，这意味着数列的项位于 $y = a - \varepsilon$ 和 $y = a + \varepsilon$ 之间，对 $n > N$ 而言，如图 7.8 所示。

图示表明这意味着数列的项 $n$ 位于 $y - a - \varepsilon$ 和 $y = a + \varepsilon$ 之间，对 $n > N$ , 如图 7.8 所示。

注意，数列的极限不一定是该数列中的元素。例如， ${n^{-1}}_{n=1}^{\infty}$ 的极限为 0。回到上面讨论的平方根例子，我们有

$$x_n \rightarrow \sqrt{2} \quad \text{as} \quad n \rightarrow \infty$$

图 7.8
收敛
于 ${a_n}$ 到极限 $a$ 。

从数列的项可以清楚地看出，对于 0.05 的误差界，我们需要 $n > 8$ （见图 7.9）。因此 $\sqrt{2} = 1.4$ （保留 1 位小数）。然而，要在正式意义上证明收敛，我们必须能够说明需要取多少项才能达到指定的精度水平。假设我们需要答案精确到 10 位小数，或 100 位小数，等等；我们必须能够给出 $N$ 在收敛定义中对应的值。求出 $N$ 的表达式通常并不容易。