498 序列、级数与极限

31 求下列方程的通解

1. $Y_{n+2} - 7Y_{n+1} + 10Y_n = 0$
2. $u_{n+2} - u_{n+1} - 6u_n = 0$
3. $25T_{n+2} = -T_n$
4. $p_{n+2} - 5p_{n+1} = 5(p_{n+1} - 5p_n)$
5. $2E_{n+2} = E_{n+1} + E_n$

32 求解非齐次问题（利用第 31 题的部分结果）

1. $Y_{n+2} - 7Y_{n+1} + 10Y_n = 1, \quad Y_0 = 5/4, \quad Y_1 = 2$
2. $2E_{n+2} - E_{n+1} - E_n = 1, \quad E_0 = 2, \quad E_1 = 0$
3. $u_{n+2} - u_{n+1} - 6u_n = n$ （仅求通解）

33 证明递推关系的特征方程 $x_{n+2} - 2ax_{n+1} + a^2x_n = 0$ ，其中 $a$ 为非零常数，有两个相等的根 $\lambda = a$ .

1. 验证（通过代入递推关系） $x_n = (A + Bn)a^n$ 对所有常数 $A$ 和 $B$ .
2. 都是解 $x_0 = 1$ , $x_1 = 0$ 求满足下列条件的特解。你的答案将包含 $a$ , 当然。)
3. 求满足以下条件的特解 $x_0 = 3$ , $x_{10} = 20$ 。

34 设 $x$ 为一个常数，使得 $|x| < 1$ 。求

$$T_{n+2} - 2xT_{n+1} + T_n = 0, \quad T_0 = 1, \quad T_1 = x$$

求 $T_2, T_3$ 和 $T_4$ 也可以直接通过递推求得，并推出 $\cos(2\cos^{-1}x) = 2x^2 - 1$ 并表示 $\cos(3\cos^{-1}x)$ 和 $\cos(4\cos^{-1}x)$ 作为关于 $x$ 的多项式。

35 信息论中的一个话题：设想一个信息传输系统，其使用的字母表仅由两个符号组成，比如说“点”和“划”。消息首先被编码成这些符号组成的字符串来进行传输，且不允许使用其他符号（比如空格）。每个符号的传输都需要一定的时长。因此，在固定的总时间长度内，只可能有有限个不同的消息字符串。设 $N_t$ 表示在 $t$ 个时间单位内可能的不同的消息字符串的数目。

1. 假设点和划各需要 1 个时间单位来传输。那么 $N_1$ 的值是多少？为什么对所有的 $N_{t+1} = 2N_t$ 都有 $t \geq 1$ ？请写出 $N_t$ 在 $t \geq 1$ .
2. 时的一个简单公式。假设改为点需要 1 个时间单位传输，而划需要 2 个时间单位。那么 v