由于 $x_n \geq 1$ 且 $\sqrt{2} < 1.5$ , 这意味着

$$|\varepsilon_{n+1}| < \frac{0.5}{2}|\varepsilon_n| < 0.25|\varepsilon_n|$$

由于 $x_0 = 1$ 我们有 $|\varepsilon_0| < \frac{1}{2}$ , 因此 $|\varepsilon_1| < 0.25(\frac{1}{2})$ , $|\varepsilon_2| < 0.25^2(\frac{1}{2})$ , ... 以及 $|\varepsilon_n| < 0.25^n(\frac{1}{2})$ 。

因此，如果我们要求 $|\varepsilon_n| < 0.5 \times 10^{-p}$ , 对于 $n > N$ , 那么我们可以找到 $m$ 使得

$$0.25^m(\frac{1}{2}) < 0.5 \times 10^{-p}$$

或

$$\frac{1}{4^m} < \frac{1}{10^p}$$

这意味着 $4^m > 10^p$ 。

取以 10 为底的对数，得到

$$m > p/\log 4$$

然后选取 $N$ 为不大于 $m$ 的最大整数，即 $N = \lfloor p/\log 4 \rfloor$ 。因此，为了保证 $10 \text{ dp}$ ，我们最多需要计算 $\lfloor 10/\log 4 \rfloor = 16$ 次迭代，你可以在计算器上验证这一点。

7.5.2 收敛数列的性质

正如我们在 $\sqrt{2}$ 例子中所看到的，从基本原理出发证明数列的收敛通常是困难且繁琐的。通常，我们可以利用基于收敛数列性质的非常简单的规则，从较简单的数列计算出数列的极限。这些性质是：

• (a) 每个收敛数列都是有界的；也就是说，如果 ${a_n}_{n=0}^\infty$ 收敛，则存在一个正数 $M$ 使得 $|a_n| < M$ 对所有 $n$ .
• 成立 ${a_n}$ (b) 如果 $a$ 的极限为 ${b_n}$ ，且 $b$ , 则
  • (i) ${a_n + b_n}$ 有极限 $a + b$
  • (ii) ${a_n - b_n}$ 有极限 $a - b$
  • (iii) ${a_n b_n}$ 有极限 $ab$
  • (iv) ${a_n/b_n}$ 有极限 $a/b$ ，对于 $b_n \neq 0$ , $b \neq 0$ 。

我们在例 7.22 中说明这一技巧。

例 7.22

求该数列的极限 ${x_n}_{n=0}^\infty$ 定义为

$$(a) \quad x_n = \frac{n}{n+1} \quad (b) \quad x_n = \frac{2n^2 + 3n + 1}{5n^2 + 6n + 2}$$

解

(a) 取 $x_n = n/(n+1)$ ，我们生成数列 ${0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots}$ 。从这些值来看，显然当 $x_n \rightarrow 1$ 时，有 $n \rightarrow \infty$ 。这可以通过将 $x_n$ 改写为来证明

$$x_n = 1 - \frac{1}{n+1}$$