或者，我们写作

$$x_n = \frac{1}{1 + 1/n}$$

现在 $1/n \rightarrow 0$ 当 $n \rightarrow \infty$ 。因此，根据性质 (b)(i)， $1 + 1/n \rightarrow 1$ 于是，根据性质 (b)(iv)，

$$\frac{1}{1+1/n} \rightarrow 1 \quad \text{as } n \rightarrow \infty$$

如图 7.10 所示。

(b) 对于

$$x_n = \frac{2n^2 + 3n + 1}{5n^2 + 6n + 2}$$

最简单的方法是将分子和分母同时除以出现的最高次幂 $n$ 并利用以下事实： $1/n \rightarrow 0$ 当 $n \rightarrow \infty$ 。因此

$$x_n = \frac{2 + 3/n + 1/n^2}{5 + 6/n + 2/n^2}$$

分子和分母的极限分别为 2 和 5（反复使用性质 (b)(i)），因此 $x_n \rightarrow \frac{2}{5}$ 作为 $n \rightarrow \infty$ （使用 (b)(iv)）。这在图 7.11 中清晰地展示出来。

例 7.23 证明斐波那契数列相邻两项之比 $x_n$ 满足递推关系

$$x_{n+1} = 1 + 1/x_n, \quad x_0 = 1$$

计算该数列的前几项，并求出其极限的值。

$$f_{n+2} = f_{n+1} + f_n \quad \text{with} \quad f_0 = f_1 = 1$$

图 7.10 数列 $x_n = n/(n + 1)$ 对 $1/n$ .

的图像 $x_n = \frac{2n^2 + 3n + 1}{5n^2 + 6n + 2}$ 图 7.11 数列 $1/n$ .