English · PDF 544
中文 · PDF 544
于是我们看到了二项式级数与对数级数之间的联系. 注意，取 $x = 1$ 串联 (7.18) 给出结果
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} (-1)^{k+1} = \ln 2$$
用于第……节 7.6.3.
图 7.3 中给出了所介绍的标准级数的总结，以及由它们推导出的其他一些有用的级数。 7.13. 注意, 利用……的级数展开 $e^x$ , $\sin x$ and $\cos x$ 如图所示, 我们可以证明欧拉公式的有效性
$$e^{jx} = \cos x + j \sin x$$
在方程中引入 (3.9). 这些级数的收敛半径都可用达朗贝尔判别法确定。.
Figure 7.13
一些常用级数表.
| $\frac{1}{1+x}$ | $= 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + \dots$ ( $-1 < x < 1$ ) |
|---|---|
| $\frac{1}{1-x}$ | $= 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + \dots$ ( $-1 < x < 1$ ) |
| $(1+x)^r = 1 + \binom{r}{1}x + \binom{r}{2}x^2 + \binom{r}{3}x^3 + \dots + \binom{r}{n}x^n + \dots$ ( $-1 < x < 1$ ) | |
| $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + \dots$ ( $-1 < x \leq 1$ ) | |
| $-\ln(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \dots + \frac{x^{n+1}}{n+1} + \dots$ ( $-1 \leq x < 1$ ) | |
| $\ln \frac{1+x}{1-x} = 2 \left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots + \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \dots \right)$ ( $-1 < x < 1$ ) | |
| $e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$ (all $x$ ) | |
| $e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^n \frac{x^n}{n!} + \dots$ (all $x$ ) | |
| $\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots$ (all $x$ ) | |
| $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots$ (all $x$ ) | |
| $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots$ (all $x$ ) | |
| $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots$ (all $x$ ) |
(Note: 在最后两个级数中 $x$ 是以弧度度量的角.)