(c) 指数级数 $$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots \quad (\text{all } x) \quad (7.17)$$

我们在例 7.22 中看到，数 $e$ 由下式定义

$$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

类似地，函数 $e^x$ 由下式定义

$$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$$

（或等价地，由 $\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^{nx}$ ）。

利用二项式展开，我们有

$$\begin{aligned} e^x &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left{1 + \frac{n}{1} \left(\frac{x}{n}\right) + \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} \left(\frac{x}{n}\right)^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \left(\frac{x}{n}\right)^3 + \dots \right} \ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left{1 + \frac{1}{1}x + \frac{(1 - \frac{1}{n})}{1 \cdot 2}x^2 + \frac{(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n})}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^3 + \dots \right} \ &= 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \end{aligned}$$

于是我们看到了二项式级数与指数级数之间的联系。

(d) 对数级数 $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + \dots \quad (-1 < x \leq 1) \quad (7.18)$$

对数函数是指数函数的反函数，因此

$$y = \ln(1+x)$$

$$\text{implies } 1+x = e^y = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{y}{n}\right)^n.$$

整理该极限以解出 $y$ 给出

$$y = \lim_{n \rightarrow \infty} {n[(1+x)^{1/n} - 1]}$$

再次使用二项式展开，得到

$$\begin{aligned} y &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left{n \left[ \frac{\frac{1}{n}x}{1} + \frac{\frac{1}{n}(\frac{1}{n}-1)}{1 \cdot 2}x^2 + \frac{\frac{1}{n}(\frac{1}{n}-1)(\frac{1}{n}-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^3 + \dots \right] \right} \ &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots \end{aligned}$$